Riješi 18x^2-30x+11=0

$$18 x ^ { 2 } - 30 x + 11 = 0$$

Riješite za x

$$x = \frac{\sqrt{3} + 5}{6} \approx 1,122008468$$

$$x=\frac{5-\sqrt{3}}{6}\approx 0,544658199$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$18x^{2}-30x+11=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 18 i a, -30 i b, kao i 11 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{\left(-30\right)^{2}-4\times 18\times 11}}{2\times 18}$$

Izračunajte kvadrat od -30.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-4\times 18\times 11}}{2\times 18}$$

Pomnožite -4 i 18.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-72\times 11}}{2\times 18}$$

Pomnožite -72 i 11.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-792}}{2\times 18}$$

Saberite 900 i -792.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{108}}{2\times 18}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 108.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±6\sqrt{3}}{2\times 18}$$

Opozit broja -30 je 30.

$$x=\frac{30±6\sqrt{3}}{2\times 18}$$

Pomnožite 2 i 18.

$$x=\frac{30±6\sqrt{3}}{36}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{30±6\sqrt{3}}{36} kada je ± plus. Saberite 30 i 6\sqrt{3}.

$$x=\frac{6\sqrt{3}+30}{36}$$

Podijelite 30+6\sqrt{3} sa 36.

$$x=\frac{\sqrt{3}+5}{6}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{30±6\sqrt{3}}{36} kada je ± minus. Oduzmite 6\sqrt{3} od 30.

$$x=\frac{30-6\sqrt{3}}{36}$$

Podijelite 30-6\sqrt{3} sa 36.

$$x=\frac{5-\sqrt{3}}{6}$$

Jednačina je riješena.

$$x=\frac{\sqrt{3}+5}{6} x=\frac{5-\sqrt{3}}{6}$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$18x^{2}-30x+11=0$$

Oduzmite 11 s obje strane jednačine.

$$18x^{2}-30x+11-11=-11$$

Oduzimanjem 11 od samog sebe ostaje 0.

$$18x^{2}-30x=-11$$

Podijelite obje strane s 18.

$$\frac{18x^{2}-30x}{18}=-\frac{11}{18}$$

Dijelјenje sa 18 poništava množenje sa 18.

$$x^{2}+\left(-\frac{30}{18}\right)x=-\frac{11}{18}$$

Svedite razlomak \frac{-30}{18} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 6.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=-\frac{11}{18}$$

Podijelite -\frac{5}{3}, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili -\frac{5}{6}. Zatim dodajte kvadrat od -\frac{5}{6} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}=-\frac{11}{18}+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od -\frac{5}{6} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=-\frac{11}{18}+\frac{25}{36}$$

Saberite -\frac{11}{18} i \frac{25}{36} tako što ćete pronaći zajednički imenilac i sabrati brojioce. Zatim svedite razlomak na najniže termine ukoliko je moguće.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{1}{12}$$

Faktor x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{1}{12}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{12}}$$

Pojednostavite.

$$x-\frac{5}{6}=\frac{\sqrt{3}}{6} x-\frac{5}{6}=-\frac{\sqrt{3}}{6}$$

Dodajte \frac{5}{6} na obje strane jednačine.

$$x=\frac{\sqrt{3}+5}{6} x=\frac{5-\sqrt{3}}{6}$$