Riješi 18x+11y=522text{and}10x=112-16y

$$18 x + 11 y = 522 \text { and } 10 x = 112 - 16 y$$

Riješite za x, y

$$x=40$$

$$y=-18$$

Koraci pomoću zamjene

Pojednostavite drugu jednačinu. Dodajte 16y na obje strane.

$$10x+16y=112$$

Da biste riješili par jednačina pomoću zamjene, prvo riješite jednu od jednačina za jednu od promjenlјivih. Zatim zamijenite rezultat za tu promjenlјivu u drugoj jednačini.

$$18x+11y=522,10x+16y=112$$

Odaberite jednu od jednačina i riješite je za x tako što ćete izdvojiti x na lijevoj strani znaka jednakosti.

$$18x+11y=522$$

Oduzmite 11y s obje strane jednačine.

$$18x=-11y+522$$

Podijelite obje strane s 18.

$$x=\frac{1}{18}\left(-11y+522\right)$$

Pomnožite \frac{1}{18} i -11y+522.

$$x=-\frac{11}{18}y+29$$

Zamijenite -\frac{11y}{18}+29 za x u drugoj jednačini, 10x+16y=112.

$$10\left(-\frac{11}{18}y+29\right)+16y=112$$

Pomnožite 10 i -\frac{11y}{18}+29.

$$-\frac{55}{9}y+290+16y=112$$

Saberite -\frac{55y}{9} i 16y.

$$\frac{89}{9}y+290=112$$

Oduzmite 290 s obje strane jednačine.

$$\frac{89}{9}y=-178$$

Podijelite obje strane jednačine sa \frac{89}{9}, što je isto kao množenje obje strane recipročnom vrijednošću razlomka.

$$y=-18$$

Zamijenite -18 za y u x=-\frac{11}{18}y+29. Pošto dobijena jednačina sadrži samo jednu promjenlјivu, možete direktno riješiti za x.

$$x=-\frac{11}{18}\left(-18\right)+29$$

Pomnožite -\frac{11}{18} i -18.

$$x=11+29$$

Saberite 29 i 11.

$$x=40$$

Sistem je riješen.

$$x=40,y=-18$$

Koraci pomoću matrica

Pojednostavite drugu jednačinu. Dodajte 16y na obje strane.

$$10x+16y=112$$

Stavite jednačine u standardni oblik, a zatim koristite matrice da biste riješili sistem jednačina.

$$18x+11y=522,10x+16y=112$$

Napišite jednačinu u obliku matrice.

$$\left(\begin{matrix}18&11\\10&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}522\\112\end{matrix}\right)$$

Pomnožite jednačinu s lijeve strane inverznom matricom \left(\begin{matrix}18&11\\10&16\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}18&11\\10&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18&11\\10&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}18&11\\10&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}522\\112\end{matrix}\right)$$

Umnožak matrice i njena inverza je jedinična matrica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}18&11\\10&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}522\\112\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice s lijeve strane znaka jednakosti.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}18&11\\10&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}522\\112\end{matrix}\right)$$

Za matricu 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), inverzna matrica je \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), pa se jednačina matrice može ponovo napisati kao problem množenja matrice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{18\times 16-11\times 10}&-\frac{11}{18\times 16-11\times 10}\\-\frac{10}{18\times 16-11\times 10}&\frac{18}{18\times 16-11\times 10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}522\\112\end{matrix}\right)$$

Izvršite aritmetičku operaciju.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{89}&-\frac{11}{178}\\-\frac{5}{89}&\frac{9}{89}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}522\\112\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{89}\times 522-\frac{11}{178}\times 112\\-\frac{5}{89}\times 522+\frac{9}{89}\times 112\end{matrix}\right)$$

Izvršite aritmetičku operaciju.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40\\-18\end{matrix}\right)$$

Izdvojite elemente matrice x i y.

$$x=40,y=-18$$

Koraci pomoću eliminacije

Pojednostavite drugu jednačinu. Dodajte 16y na obje strane.

$$10x+16y=112$$

Da bi se riješilo putem eliminacije, koeficijenti jedne od promjenlјivih moraju biti isti u obje jednačine kako bi promjenlјiva bila izbačena kada se jedna jednačina oduzme od druge.

$$18x+11y=522,10x+16y=112$$

Da bi 18x i 10x bili jednaki, pomnožite sve termine na svakoj strani prve jednačine sa 10 i sve termine na svakoj strani druge jednačine sa 18.

$$10\times 18x+10\times 11y=10\times 522,18\times 10x+18\times 16y=18\times 112$$

Pojednostavite.

$$180x+110y=5220,180x+288y=2016$$

Oduzmite 180x+288y=2016 od 180x+110y=5220 tako što ćete oduzeti slične termine na svakoj strani znaka jednakosti.

$$180x-180x+110y-288y=5220-2016$$

Saberite 180x i -180x. Izrazi 180x i -180x se krate, čime ostaje jednačina sa samo jednom promjenјivom koja se može riješiti.

$$110y-288y=5220-2016$$

Saberite 110y i -288y.

$$-178y=5220-2016$$

Saberite 5220 i -2016.

$$-178y=3204$$

Podijelite obje strane s -178.

$$y=-18$$

Zamijenite -18 za y u 10x+16y=112. Pošto dobijena jednačina sadrži samo jednu promjenlјivu, možete direktno riješiti za x.

$$10x+16\left(-18\right)=112$$

Pomnožite 16 i -18.

$$10x-288=112$$

Dodajte 288 na obje strane jednačine.

$$10x=400$$

Podijelite obje strane s 10.

$$x=40$$

Sistem je riješen.

$$x=40,y=-18$$