Riješi 18x^2-9x-5=0

$$18 { x }^{ 2 } -9x-5 = 0$$

Riješite za x

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

$$x=\frac{5}{6}\approx 0,833333333$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao 18x^{2}+ax+bx-5. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=-9 ab=18\left(-5\right)=-90$$

Pošto je ab negativno, a a b ima suprotan znak. Pošto je a+b negativan, negativan broj ima veću apsolutnu vrijednost od pozitivnog. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod -90.

$$1,-90 2,-45 3,-30 5,-18 6,-15 9,-10$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$1-90=-89 2-45=-43 3-30=-27 5-18=-13 6-15=-9 9-10=-1$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu -9.

$$a=-15 b=6$$

Ponovo napišite 18x^{2}-9x-5 kao \left(18x^{2}-15x\right)+\left(6x-5\right).

$$\left(18x^{2}-15x\right)+\left(6x-5\right)$$

Izdvojite 3x iz 18x^{2}-15x.

$$3x\left(6x-5\right)+6x-5$$

Izdvojite obični izraz 6x-5 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(6x-5\right)\left(3x+1\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite 6x-5=0 i 3x+1=0.

$$x=\frac{5}{6} x=-\frac{1}{3}$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$18x^{2}-9x-5=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 18 i a, -9 i b, kao i -5 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 18\left(-5\right)}}{2\times 18}$$

Izračunajte kvadrat od -9.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 18\left(-5\right)}}{2\times 18}$$

Pomnožite -4 i 18.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-72\left(-5\right)}}{2\times 18}$$

Pomnožite -72 i -5.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+360}}{2\times 18}$$

Saberite 81 i 360.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{441}}{2\times 18}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 441.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±21}{2\times 18}$$

Opozit broja -9 je 9.

$$x=\frac{9±21}{2\times 18}$$

Pomnožite 2 i 18.

$$x=\frac{9±21}{36}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{9±21}{36} kada je ± plus. Saberite 9 i 21.

$$x=\frac{30}{36}$$

Svedite razlomak \frac{30}{36} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 6.

$$x=\frac{5}{6}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{9±21}{36} kada je ± minus. Oduzmite 21 od 9.

$$x=-\frac{12}{36}$$

Svedite razlomak \frac{-12}{36} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 12.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Jednačina je riješena.

$$x=\frac{5}{6} x=-\frac{1}{3}$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$18x^{2}-9x-5=0$$

Dodajte 5 na obje strane jednačine.

$$18x^{2}-9x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

Oduzimanjem -5 od samog sebe ostaje 0.

$$18x^{2}-9x=-\left(-5\right)$$

Oduzmite -5 od 0.

$$18x^{2}-9x=5$$

Podijelite obje strane s 18.

$$\frac{18x^{2}-9x}{18}=\frac{5}{18}$$

Dijelјenje sa 18 poništava množenje sa 18.

$$x^{2}+\left(-\frac{9}{18}\right)x=\frac{5}{18}$$

Svedite razlomak \frac{-9}{18} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 9.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{5}{18}$$

Podijelite -\frac{1}{2}, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili -\frac{1}{4}. Zatim dodajte kvadrat od -\frac{1}{4} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{5}{18}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od -\frac{1}{4} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{5}{18}+\frac{1}{16}$$

Saberite \frac{5}{18} i \frac{1}{16} tako što ćete pronaći zajednički imenilac i sabrati brojioce. Zatim svedite razlomak na najniže termine ukoliko je moguće.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{49}{144}$$

Faktor x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

Pojednostavite.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{7}{12} x-\frac{1}{4}=-\frac{7}{12}$$

Dodajte \frac{1}{4} na obje strane jednačine.

$$x=\frac{5}{6} x=-\frac{1}{3}$$