Riješi 16x^2+8x-3=0

$$16 x ^ { 2 } + 8 x - 3 = 0$$

Riješite za x

$$x=-\frac{3}{4}=-0,75$$

$$x=\frac{1}{4}=0,25$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao 16x^{2}+ax+bx-3. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=8 ab=16\left(-3\right)=-48$$

Pošto je ab negativno, a a b ima suprotan znak. Pošto je a+b pozitivno, pozitivan broj ima veću apsolutnu vrijednost od negativnog. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod -48.

$$-1,48 -2,24 -3,16 -4,12 -6,8$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$-1+48=47 -2+24=22 -3+16=13 -4+12=8 -6+8=2$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu 8.

$$a=-4 b=12$$

Ponovo napišite 16x^{2}+8x-3 kao \left(16x^{2}-4x\right)+\left(12x-3\right).

$$\left(16x^{2}-4x\right)+\left(12x-3\right)$$

Isključite 4x u prvoj i 3 drugoj grupi.

$$4x\left(4x-1\right)+3\left(4x-1\right)$$

Izdvojite obični izraz 4x-1 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(4x-1\right)\left(4x+3\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite 4x-1=0 i 4x+3=0.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{3}{4}$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$16x^{2}+8x-3=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 16 i a, 8 i b, kao i -3 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 16\left(-3\right)}}{2\times 16}$$

Izračunajte kvadrat od 8.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 16\left(-3\right)}}{2\times 16}$$

Pomnožite -4 i 16.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-64\left(-3\right)}}{2\times 16}$$

Pomnožite -64 i -3.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+192}}{2\times 16}$$

Saberite 64 i 192.

$$x=\frac{-8±\sqrt{256}}{2\times 16}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 256.

$$x=\frac{-8±16}{2\times 16}$$

Pomnožite 2 i 16.

$$x=\frac{-8±16}{32}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{-8±16}{32} kada je ± plus. Saberite -8 i 16.

$$x=\frac{8}{32}$$

Svedite razlomak \frac{8}{32} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 8.

$$x=\frac{1}{4}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{-8±16}{32} kada je ± minus. Oduzmite 16 od -8.

$$x=-\frac{24}{32}$$

Svedite razlomak \frac{-24}{32} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 8.

$$x=-\frac{3}{4}$$

Jednačina je riješena.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{3}{4}$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$16x^{2}+8x-3=0$$

Dodajte 3 na obje strane jednačine.

$$16x^{2}+8x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Oduzimanjem -3 od samog sebe ostaje 0.

$$16x^{2}+8x=-\left(-3\right)$$

Oduzmite -3 od 0.

$$16x^{2}+8x=3$$

Podijelite obje strane s 16.

$$\frac{16x^{2}+8x}{16}=\frac{3}{16}$$

Dijelјenje sa 16 poništava množenje sa 16.

$$x^{2}+\frac{8}{16}x=\frac{3}{16}$$

Svedite razlomak \frac{8}{16} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 8.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=\frac{3}{16}$$

Podijelite \frac{1}{2}, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili \frac{1}{4}. Zatim dodajte kvadrat od \frac{1}{4} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{3}{16}+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od \frac{1}{4} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{3+1}{16}$$

Saberite \frac{3}{16} i \frac{1}{16} tako što ćete pronaći zajednički imenilac i sabrati brojioce. Zatim svedite razlomak na najniže termine ukoliko je moguće.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{1}{4}$$

Faktor x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Pojednostavite.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{1}{2} x+\frac{1}{4}=-\frac{1}{2}$$

Oduzmite \frac{1}{4} s obje strane jednačine.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{3}{4}$$