Riješi 16x^2+10x-9=0

$$16 x ^ { 2 } + 10 x - 9 = 0$$

Riješite za x

$$x = -\frac{9}{8} = -1\frac{1}{8} = -1,125$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao 16x^{2}+ax+bx-9. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=10 ab=16\left(-9\right)=-144$$

Pošto je ab negativno, a a b ima suprotan znak. Pošto je a+b pozitivno, pozitivan broj ima veću apsolutnu vrijednost od negativnog. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod -144.

$$-1,144 -2,72 -3,48 -4,36 -6,24 -8,18 -9,16 -12,12$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$-1+144=143 -2+72=70 -3+48=45 -4+36=32 -6+24=18 -8+18=10 -9+16=7 -12+12=0$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu 10.

$$a=-8 b=18$$

Ponovo napišite 16x^{2}+10x-9 kao \left(16x^{2}-8x\right)+\left(18x-9\right).

$$\left(16x^{2}-8x\right)+\left(18x-9\right)$$

Isključite 8x u prvoj i 9 drugoj grupi.

$$8x\left(2x-1\right)+9\left(2x-1\right)$$

Izdvojite obični izraz 2x-1 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(2x-1\right)\left(8x+9\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite 2x-1=0 i 8x+9=0.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{9}{8}$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$16x^{2}+10x-9=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 16 i a, 10 i b, kao i -9 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 16\left(-9\right)}}{2\times 16}$$

Izračunajte kvadrat od 10.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 16\left(-9\right)}}{2\times 16}$$

Pomnožite -4 i 16.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-64\left(-9\right)}}{2\times 16}$$

Pomnožite -64 i -9.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+576}}{2\times 16}$$

Saberite 100 i 576.

$$x=\frac{-10±\sqrt{676}}{2\times 16}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 676.

$$x=\frac{-10±26}{2\times 16}$$

Pomnožite 2 i 16.

$$x=\frac{-10±26}{32}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{-10±26}{32} kada je ± plus. Saberite -10 i 26.

$$x=\frac{16}{32}$$

Svedite razlomak \frac{16}{32} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 16.

$$x=\frac{1}{2}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{-10±26}{32} kada je ± minus. Oduzmite 26 od -10.

$$x=-\frac{36}{32}$$

Svedite razlomak \frac{-36}{32} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 4.

$$x=-\frac{9}{8}$$

Jednačina je riješena.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{9}{8}$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$16x^{2}+10x-9=0$$

Dodajte 9 na obje strane jednačine.

$$16x^{2}+10x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Oduzimanjem -9 od samog sebe ostaje 0.

$$16x^{2}+10x=-\left(-9\right)$$

Oduzmite -9 od 0.

$$16x^{2}+10x=9$$

Podijelite obje strane s 16.

$$\frac{16x^{2}+10x}{16}=\frac{9}{16}$$

Dijelјenje sa 16 poništava množenje sa 16.

$$x^{2}+\frac{10}{16}x=\frac{9}{16}$$

Svedite razlomak \frac{10}{16} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 2.

$$x^{2}+\frac{5}{8}x=\frac{9}{16}$$

Podijelite \frac{5}{8}, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili \frac{5}{16}. Zatim dodajte kvadrat od \frac{5}{16} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}+\frac{5}{8}x+\left(\frac{5}{16}\right)^{2}=\frac{9}{16}+\left(\frac{5}{16}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od \frac{5}{16} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$x^{2}+\frac{5}{8}x+\frac{25}{256}=\frac{9}{16}+\frac{25}{256}$$

Saberite \frac{9}{16} i \frac{25}{256} tako što ćete pronaći zajednički imenilac i sabrati brojioce. Zatim svedite razlomak na najniže termine ukoliko je moguće.

$$x^{2}+\frac{5}{8}x+\frac{25}{256}=\frac{169}{256}$$

Faktor x^{2}+\frac{5}{8}x+\frac{25}{256}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{16}\right)^{2}=\frac{169}{256}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{16}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{256}}$$

Pojednostavite.

$$x+\frac{5}{16}=\frac{13}{16} x+\frac{5}{16}=-\frac{13}{16}$$

Oduzmite \frac{5}{16} s obje strane jednačine.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{9}{8}$$