Riješi 16k^2-40k=-23

$$16 k ^ { 2 } - 40 k = - 23$$

Riješite za k

$$k = \frac{\sqrt{2} + 5}{4} \approx 1,603553391$$

$$k=\frac{5-\sqrt{2}}{4}\approx 0,896446609$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$16k^{2}-40k=-23$$

Dodajte 23 na obje strane jednačine.

$$16k^{2}-40k-\left(-23\right)=-23-\left(-23\right)$$

Oduzimanjem -23 od samog sebe ostaje 0.

$$16k^{2}-40k-\left(-23\right)=0$$

Oduzmite -23 od 0.

$$16k^{2}-40k+23=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 16 i a, -40 i b, kao i 23 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$k=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 16\times 23}}{2\times 16}$$

Izračunajte kvadrat od -40.

$$k=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-4\times 16\times 23}}{2\times 16}$$

Pomnožite -4 i 16.

$$k=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-64\times 23}}{2\times 16}$$

Pomnožite -64 i 23.

$$k=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-1472}}{2\times 16}$$

Saberite 1600 i -1472.

$$k=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{128}}{2\times 16}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 128.

$$k=\frac{-\left(-40\right)±8\sqrt{2}}{2\times 16}$$

Opozit broja -40 je 40.

$$k=\frac{40±8\sqrt{2}}{2\times 16}$$

Pomnožite 2 i 16.

$$k=\frac{40±8\sqrt{2}}{32}$$

Sada riješite jednačinu k=\frac{40±8\sqrt{2}}{32} kada je ± plus. Saberite 40 i 8\sqrt{2}.

$$k=\frac{8\sqrt{2}+40}{32}$$

Podijelite 40+8\sqrt{2} sa 32.

$$k=\frac{\sqrt{2}+5}{4}$$

Sada riješite jednačinu k=\frac{40±8\sqrt{2}}{32} kada je ± minus. Oduzmite 8\sqrt{2} od 40.

$$k=\frac{40-8\sqrt{2}}{32}$$

Podijelite 40-8\sqrt{2} sa 32.

$$k=\frac{5-\sqrt{2}}{4}$$

Jednačina je riješena.

$$k=\frac{\sqrt{2}+5}{4} k=\frac{5-\sqrt{2}}{4}$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$16k^{2}-40k=-23$$

Podijelite obje strane s 16.

$$\frac{16k^{2}-40k}{16}=-\frac{23}{16}$$

Dijelјenje sa 16 poništava množenje sa 16.

$$k^{2}+\left(-\frac{40}{16}\right)k=-\frac{23}{16}$$

Svedite razlomak \frac{-40}{16} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 8.

$$k^{2}-\frac{5}{2}k=-\frac{23}{16}$$

Podijelite -\frac{5}{2}, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili -\frac{5}{4}. Zatim dodajte kvadrat od -\frac{5}{4} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$k^{2}-\frac{5}{2}k+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}=-\frac{23}{16}+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od -\frac{5}{4} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$k^{2}-\frac{5}{2}k+\frac{25}{16}=\frac{-23+25}{16}$$

Saberite -\frac{23}{16} i \frac{25}{16} tako što ćete pronaći zajednički imenilac i sabrati brojioce. Zatim svedite razlomak na najniže termine ukoliko je moguće.

$$k^{2}-\frac{5}{2}k+\frac{25}{16}=\frac{1}{8}$$

Faktor k^{2}-\frac{5}{2}k+\frac{25}{16}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(k-\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{1}{8}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(k-\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{8}}$$

Pojednostavite.

$$k-\frac{5}{4}=\frac{\sqrt{2}}{4} k-\frac{5}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{4}$$

Dodajte \frac{5}{4} na obje strane jednačine.

$$k=\frac{\sqrt{2}+5}{4} k=\frac{5-\sqrt{2}}{4}$$