Riješi 15y^2+8y+1=0

$$15 y ^ { 2 } + 8 y + 1 = 0$$

Riješite za y

$$y=-\frac{1}{5}=-0,2$$

$$y=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao 15y^{2}+ay+by+1. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=8 ab=15\times 1=15$$

Pošto je ab pozitivno, a a b ima isti znak. Pošto je a+b pozitivno, a a b su oba pozitivna. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod 15.

$$1,15 3,5$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$1+15=16 3+5=8$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu 8.

$$a=3 b=5$$

Ponovo napišite 15y^{2}+8y+1 kao \left(15y^{2}+3y\right)+\left(5y+1\right).

$$\left(15y^{2}+3y\right)+\left(5y+1\right)$$

Izdvojite 3y iz 15y^{2}+3y.

$$3y\left(5y+1\right)+5y+1$$

Izdvojite obični izraz 5y+1 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(5y+1\right)\left(3y+1\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite 5y+1=0 i 3y+1=0.

$$y=-\frac{1}{5} y=-\frac{1}{3}$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$15y^{2}+8y+1=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 15 i a, 8 i b, kao i 1 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 15}}{2\times 15}$$

Izračunajte kvadrat od 8.

$$y=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 15}}{2\times 15}$$

Pomnožite -4 i 15.

$$y=\frac{-8±\sqrt{64-60}}{2\times 15}$$

Saberite 64 i -60.

$$y=\frac{-8±\sqrt{4}}{2\times 15}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 4.

$$y=\frac{-8±2}{2\times 15}$$

Pomnožite 2 i 15.

$$y=\frac{-8±2}{30}$$

Sada riješite jednačinu y=\frac{-8±2}{30} kada je ± plus. Saberite -8 i 2.

$$y=-\frac{6}{30}$$

Svedite razlomak \frac{-6}{30} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 6.

$$y=-\frac{1}{5}$$

Sada riješite jednačinu y=\frac{-8±2}{30} kada je ± minus. Oduzmite 2 od -8.

$$y=-\frac{10}{30}$$

Svedite razlomak \frac{-10}{30} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 10.

$$y=-\frac{1}{3}$$

Jednačina je riješena.

$$y=-\frac{1}{5} y=-\frac{1}{3}$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$15y^{2}+8y+1=0$$

Oduzmite 1 s obje strane jednačine.

$$15y^{2}+8y+1-1=-1$$

Oduzimanjem 1 od samog sebe ostaje 0.

$$15y^{2}+8y=-1$$

Podijelite obje strane s 15.

$$\frac{15y^{2}+8y}{15}=-\frac{1}{15}$$

Dijelјenje sa 15 poništava množenje sa 15.

$$y^{2}+\frac{8}{15}y=-\frac{1}{15}$$

Podijelite \frac{8}{15}, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili \frac{4}{15}. Zatim dodajte kvadrat od \frac{4}{15} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$y^{2}+\frac{8}{15}y+\left(\frac{4}{15}\right)^{2}=-\frac{1}{15}+\left(\frac{4}{15}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od \frac{4}{15} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$y^{2}+\frac{8}{15}y+\frac{16}{225}=-\frac{1}{15}+\frac{16}{225}$$

Saberite -\frac{1}{15} i \frac{16}{225} tako što ćete pronaći zajednički imenilac i sabrati brojioce. Zatim svedite razlomak na najniže termine ukoliko je moguće.

$$y^{2}+\frac{8}{15}y+\frac{16}{225}=\frac{1}{225}$$

Faktor y^{2}+\frac{8}{15}y+\frac{16}{225}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y+\frac{4}{15}\right)^{2}=\frac{1}{225}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(y+\frac{4}{15}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{225}}$$

Pojednostavite.

$$y+\frac{4}{15}=\frac{1}{15} y+\frac{4}{15}=-\frac{1}{15}$$

Oduzmite \frac{4}{15} s obje strane jednačine.

$$y=-\frac{1}{5} y=-\frac{1}{3}$$