Riješi 15x^2+7x=4

$$15 x ^ { 2 } + 7 x = 4$$

Riješite za x

$$x=-\frac{4}{5}=-0,8$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Oduzmite 4 s obje strane.

$$15x^{2}+7x-4=0$$

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao 15x^{2}+ax+bx-4. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=7 ab=15\left(-4\right)=-60$$

Pošto je ab negativno, a a b ima suprotan znak. Pošto je a+b pozitivno, pozitivan broj ima veću apsolutnu vrijednost od negativnog. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod -60.

$$-1,60 -2,30 -3,20 -4,15 -5,12 -6,10$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$-1+60=59 -2+30=28 -3+20=17 -4+15=11 -5+12=7 -6+10=4$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu 7.

$$a=-5 b=12$$

Ponovo napišite 15x^{2}+7x-4 kao \left(15x^{2}-5x\right)+\left(12x-4\right).

$$\left(15x^{2}-5x\right)+\left(12x-4\right)$$

Isključite 5x u prvoj i 4 drugoj grupi.

$$5x\left(3x-1\right)+4\left(3x-1\right)$$

Izdvojite obični izraz 3x-1 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(3x-1\right)\left(5x+4\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite 3x-1=0 i 5x+4=0.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{4}{5}$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$15x^{2}+7x=4$$

Oduzmite 4 s obje strane jednačine.

$$15x^{2}+7x-4=4-4$$

Oduzimanjem 4 od samog sebe ostaje 0.

$$15x^{2}+7x-4=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 15 i a, 7 i b, kao i -4 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 15\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

Izračunajte kvadrat od 7.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 15\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

Pomnožite -4 i 15.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-60\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

Pomnožite -60 i -4.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+240}}{2\times 15}$$

Saberite 49 i 240.

$$x=\frac{-7±\sqrt{289}}{2\times 15}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 289.

$$x=\frac{-7±17}{2\times 15}$$

Pomnožite 2 i 15.

$$x=\frac{-7±17}{30}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{-7±17}{30} kada je ± plus. Saberite -7 i 17.

$$x=\frac{10}{30}$$

Svedite razlomak \frac{10}{30} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 10.

$$x=\frac{1}{3}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{-7±17}{30} kada je ± minus. Oduzmite 17 od -7.

$$x=-\frac{24}{30}$$

Svedite razlomak \frac{-24}{30} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 6.

$$x=-\frac{4}{5}$$

Jednačina je riješena.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{4}{5}$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$15x^{2}+7x=4$$

Podijelite obje strane s 15.

$$\frac{15x^{2}+7x}{15}=\frac{4}{15}$$

Dijelјenje sa 15 poništava množenje sa 15.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x=\frac{4}{15}$$

Podijelite \frac{7}{15}, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili \frac{7}{30}. Zatim dodajte kvadrat od \frac{7}{30} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x+\left(\frac{7}{30}\right)^{2}=\frac{4}{15}+\left(\frac{7}{30}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od \frac{7}{30} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x+\frac{49}{900}=\frac{4}{15}+\frac{49}{900}$$

Saberite \frac{4}{15} i \frac{49}{900} tako što ćete pronaći zajednički imenilac i sabrati brojioce. Zatim svedite razlomak na najniže termine ukoliko je moguće.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x+\frac{49}{900}=\frac{289}{900}$$

Faktor x^{2}+\frac{7}{15}x+\frac{49}{900}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{30}\right)^{2}=\frac{289}{900}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{30}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{900}}$$

Pojednostavite.

$$x+\frac{7}{30}=\frac{17}{30} x+\frac{7}{30}=-\frac{17}{30}$$

Oduzmite \frac{7}{30} s obje strane jednačine.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{4}{5}$$