Riješi 15x^2+11x+2=0

$$15 x ^ { 2 } + 11 x + 2 = 0$$

Riješite za x

$$x=-\frac{2}{5}=-0,4$$

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao 15x^{2}+ax+bx+2. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=11 ab=15\times 2=30$$

Pošto je ab pozitivno, a a b ima isti znak. Pošto je a+b pozitivno, a a b su oba pozitivna. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod 30.

$$1,30 2,15 3,10 5,6$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$1+30=31 2+15=17 3+10=13 5+6=11$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu 11.

$$a=5 b=6$$

Ponovo napišite 15x^{2}+11x+2 kao \left(15x^{2}+5x\right)+\left(6x+2\right).

$$\left(15x^{2}+5x\right)+\left(6x+2\right)$$

Isključite 5x u prvoj i 2 drugoj grupi.

$$5x\left(3x+1\right)+2\left(3x+1\right)$$

Izdvojite obični izraz 3x+1 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(3x+1\right)\left(5x+2\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite 3x+1=0 i 5x+2=0.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{2}{5}$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$15x^{2}+11x+2=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 15 i a, 11 i b, kao i 2 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 15\times 2}}{2\times 15}$$

Izračunajte kvadrat od 11.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 15\times 2}}{2\times 15}$$

Pomnožite -4 i 15.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-60\times 2}}{2\times 15}$$

Pomnožite -60 i 2.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-120}}{2\times 15}$$

Saberite 121 i -120.

$$x=\frac{-11±\sqrt{1}}{2\times 15}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 1.

$$x=\frac{-11±1}{2\times 15}$$

Pomnožite 2 i 15.

$$x=\frac{-11±1}{30}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{-11±1}{30} kada je ± plus. Saberite -11 i 1.

$$x=-\frac{10}{30}$$

Svedite razlomak \frac{-10}{30} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 10.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{-11±1}{30} kada je ± minus. Oduzmite 1 od -11.

$$x=-\frac{12}{30}$$

Svedite razlomak \frac{-12}{30} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 6.

$$x=-\frac{2}{5}$$

Jednačina je riješena.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{2}{5}$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$15x^{2}+11x+2=0$$

Oduzmite 2 s obje strane jednačine.

$$15x^{2}+11x+2-2=-2$$

Oduzimanjem 2 od samog sebe ostaje 0.

$$15x^{2}+11x=-2$$

Podijelite obje strane s 15.

$$\frac{15x^{2}+11x}{15}=-\frac{2}{15}$$

Dijelјenje sa 15 poništava množenje sa 15.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x=-\frac{2}{15}$$

Podijelite \frac{11}{15}, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili \frac{11}{30}. Zatim dodajte kvadrat od \frac{11}{30} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x+\left(\frac{11}{30}\right)^{2}=-\frac{2}{15}+\left(\frac{11}{30}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od \frac{11}{30} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x+\frac{121}{900}=-\frac{2}{15}+\frac{121}{900}$$

Saberite -\frac{2}{15} i \frac{121}{900} tako što ćete pronaći zajednički imenilac i sabrati brojioce. Zatim svedite razlomak na najniže termine ukoliko je moguće.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x+\frac{121}{900}=\frac{1}{900}$$

Faktorirajte x^{2}+\frac{11}{15}x+\frac{121}{900}. Uopćeno govoreći, kada je x^{2}+bx+c savršeni kvadrat, on se uvijek može faktorirati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{11}{30}\right)^{2}=\frac{1}{900}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{30}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{900}}$$

Pojednostavite.

$$x+\frac{11}{30}=\frac{1}{30} x+\frac{11}{30}=-\frac{1}{30}$$

Oduzmite \frac{11}{30} s obje strane jednačine.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{2}{5}$$