Riješi 15(x^2-1)>16x

$$15 ( x ^ { 2 } - 1 ) > 16 x$$

Riješite za x

$$x\in \left(-\infty,-\frac{3}{5}\right)\cup \left(\frac{5}{3},\infty\right)$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Koristite distributivno svojstvo da biste pomnožili 15 sa x^{2}-1.

$$15x^{2}-15>16x$$

Oduzmite 16x s obje strane.

$$15x^{2}-15-16x>0$$

Da biste riješili nejednačinu, faktorirajte lijevu stranu. Kvadratni polinom se može faktorirati pomoću transformacije ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), pri čemu x_{1} i x_{2} predstavlјaju rješenja kvadratne jednačine ax^{2}+bx+c=0.

$$15x^{2}-15-16x=0$$

Sve nejednakosti izraza ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti korištenjem kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Zamijenite 15 sa a, -16 sa b i -15 sa c u kvadratnoj formuli.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{\left(-16\right)^{2}-4\times 15\left(-15\right)}}{2\times 15}$$

Izvršite računanje.

$$x=\frac{16±34}{30}$$

Riješite jednačinu x=\frac{16±34}{30} kad je ± pozitivno i kad je ± negativno.

$$x=\frac{5}{3} x=-\frac{3}{5}$$

Ponovo napišite nejednačinu koristeći dobivena rješenja.

$$15\left(x-\frac{5}{3}\right)\left(x+\frac{3}{5}\right)>0$$

Da bi proizvod bio pozitivan, obje vrijednosti x-\frac{5}{3} i x+\frac{3}{5} moraju biti negativne ili pozitivne. Razmotrite slučaj kad su x-\frac{5}{3} i x+\frac{3}{5} negativni.

$$x-\frac{5}{3}<0 x+\frac{3}{5}<0$$

Rješenje koje zadovoljava obje nejednakosti je x<-\frac{3}{5}.

$$x<-\frac{3}{5}$$

Razmotrite slučaj kad su x-\frac{5}{3} i x+\frac{3}{5} pozitivni.

$$x+\frac{3}{5}>0 x-\frac{5}{3}>0$$

Rješenje koje zadovoljava obje nejednakosti je x>\frac{5}{3}.

$$x>\frac{5}{3}$$

Konačno rješenje je unija dobivenih rješenja.

$$x<-\frac{3}{5}\text{; }x>\frac{5}{3}$$