Riješi 15x^2+4x-4=0

$$15 { x }^{ 2 } +4x-4=0$$

Riješite za x

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

$$x=\frac{2}{5}=0,4$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao 15x^{2}+ax+bx-4. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=4 ab=15\left(-4\right)=-60$$

Pošto je ab negativno, a a b ima suprotan znak. Pošto je a+b pozitivno, pozitivan broj ima veću apsolutnu vrijednost od negativnog. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod -60.

$$-1,60 -2,30 -3,20 -4,15 -5,12 -6,10$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$-1+60=59 -2+30=28 -3+20=17 -4+15=11 -5+12=7 -6+10=4$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu 4.

$$a=-6 b=10$$

Ponovo napišite 15x^{2}+4x-4 kao \left(15x^{2}-6x\right)+\left(10x-4\right).

$$\left(15x^{2}-6x\right)+\left(10x-4\right)$$

Isključite 3x u prvoj i 2 drugoj grupi.

$$3x\left(5x-2\right)+2\left(5x-2\right)$$

Izdvojite obični izraz 5x-2 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(5x-2\right)\left(3x+2\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite 5x-2=0 i 3x+2=0.

$$x=\frac{2}{5} x=-\frac{2}{3}$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$15x^{2}+4x-4=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 15 i a, 4 i b, kao i -4 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 15\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

Izračunajte kvadrat od 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 15\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

Pomnožite -4 i 15.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-60\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

Pomnožite -60 i -4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+240}}{2\times 15}$$

Saberite 16 i 240.

$$x=\frac{-4±\sqrt{256}}{2\times 15}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 256.

$$x=\frac{-4±16}{2\times 15}$$

Pomnožite 2 i 15.

$$x=\frac{-4±16}{30}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{-4±16}{30} kada je ± plus. Saberite -4 i 16.

$$x=\frac{12}{30}$$

Svedite razlomak \frac{12}{30} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 6.

$$x=\frac{2}{5}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{-4±16}{30} kada je ± minus. Oduzmite 16 od -4.

$$x=-\frac{20}{30}$$

Svedite razlomak \frac{-20}{30} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 10.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Jednačina je riješena.

$$x=\frac{2}{5} x=-\frac{2}{3}$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$15x^{2}+4x-4=0$$

Dodajte 4 na obje strane jednačine.

$$15x^{2}+4x-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

Oduzimanjem -4 od samog sebe ostaje 0.

$$15x^{2}+4x=-\left(-4\right)$$

Oduzmite -4 od 0.

$$15x^{2}+4x=4$$

Podijelite obje strane s 15.

$$\frac{15x^{2}+4x}{15}=\frac{4}{15}$$

Dijelјenje sa 15 poništava množenje sa 15.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x=\frac{4}{15}$$

Podijelite \frac{4}{15}, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili \frac{2}{15}. Zatim dodajte kvadrat od \frac{2}{15} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x+\left(\frac{2}{15}\right)^{2}=\frac{4}{15}+\left(\frac{2}{15}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od \frac{2}{15} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x+\frac{4}{225}=\frac{4}{15}+\frac{4}{225}$$

Saberite \frac{4}{15} i \frac{4}{225} tako što ćete pronaći zajednički imenilac i sabrati brojioce. Zatim svedite razlomak na najniže termine ukoliko je moguće.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x+\frac{4}{225}=\frac{64}{225}$$

Faktorirajte x^{2}+\frac{4}{15}x+\frac{4}{225}. Uopćeno govoreći, kada je x^{2}+bx+c savršeni kvadrat, on se uvijek može faktorirati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{2}{15}\right)^{2}=\frac{64}{225}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{15}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{64}{225}}$$

Pojednostavite.

$$x+\frac{2}{15}=\frac{8}{15} x+\frac{2}{15}=-\frac{8}{15}$$

Oduzmite \frac{2}{15} s obje strane jednačine.

$$x=\frac{2}{5} x=-\frac{2}{3}$$