Riješi 14x^2-29x-15=0

$$14 { x }^{ 2 } -29x-15 = 0$$

Riješite za x

$$x=-\frac{3}{7}\approx -0,428571429$$

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2,5$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao 14x^{2}+ax+bx-15. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=-29 ab=14\left(-15\right)=-210$$

Pošto je ab negativno, a a b ima suprotan znak. Pošto je a+b negativan, negativan broj ima veću apsolutnu vrijednost od pozitivnog. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod -210.

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu -29.

$$a=-35 b=6$$

Ponovo napišite 14x^{2}-29x-15 kao \left(14x^{2}-35x\right)+\left(6x-15\right).

$$\left(14x^{2}-35x\right)+\left(6x-15\right)$$

Isključite 7x u prvoj i 3 drugoj grupi.

$$7x\left(2x-5\right)+3\left(2x-5\right)$$

Izdvojite obični izraz 2x-5 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(2x-5\right)\left(7x+3\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite 2x-5=0 i 7x+3=0.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{7}$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$14x^{2}-29x-15=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 14 i a, -29 i b, kao i -15 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{\left(-29\right)^{2}-4\times 14\left(-15\right)}}{2\times 14}$$

Izračunajte kvadrat od -29.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-4\times 14\left(-15\right)}}{2\times 14}$$

Pomnožite -4 i 14.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-56\left(-15\right)}}{2\times 14}$$

Pomnožite -56 i -15.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841+840}}{2\times 14}$$

Saberite 841 i 840.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{1681}}{2\times 14}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 1681.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±41}{2\times 14}$$

Opozit broja -29 je 29.

$$x=\frac{29±41}{2\times 14}$$

Pomnožite 2 i 14.

$$x=\frac{29±41}{28}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{29±41}{28} kada je ± plus. Saberite 29 i 41.

$$x=\frac{70}{28}$$

Svedite razlomak \frac{70}{28} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 14.

$$x=\frac{5}{2}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{29±41}{28} kada je ± minus. Oduzmite 41 od 29.

$$x=-\frac{12}{28}$$

Svedite razlomak \frac{-12}{28} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 4.

$$x=-\frac{3}{7}$$

Jednačina je riješena.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{7}$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$14x^{2}-29x-15=0$$

Dodajte 15 na obje strane jednačine.

$$14x^{2}-29x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Oduzimanjem -15 od samog sebe ostaje 0.

$$14x^{2}-29x=-\left(-15\right)$$

Oduzmite -15 od 0.

$$14x^{2}-29x=15$$

Podijelite obje strane s 14.

$$\frac{14x^{2}-29x}{14}=\frac{15}{14}$$

Dijelјenje sa 14 poništava množenje sa 14.

$$x^{2}-\frac{29}{14}x=\frac{15}{14}$$

Podijelite -\frac{29}{14}, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili -\frac{29}{28}. Zatim dodajte kvadrat od -\frac{29}{28} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}-\frac{29}{14}x+\left(-\frac{29}{28}\right)^{2}=\frac{15}{14}+\left(-\frac{29}{28}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od -\frac{29}{28} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$x^{2}-\frac{29}{14}x+\frac{841}{784}=\frac{15}{14}+\frac{841}{784}$$

Saberite \frac{15}{14} i \frac{841}{784} tako što ćete pronaći zajednički imenilac i sabrati brojioce. Zatim svedite razlomak na najniže termine ukoliko je moguće.

$$x^{2}-\frac{29}{14}x+\frac{841}{784}=\frac{1681}{784}$$

Faktor x^{2}-\frac{29}{14}x+\frac{841}{784}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{29}{28}\right)^{2}=\frac{1681}{784}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x-\frac{29}{28}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{784}}$$

Pojednostavite.

$$x-\frac{29}{28}=\frac{41}{28} x-\frac{29}{28}=-\frac{41}{28}$$

Dodajte \frac{29}{28} na obje strane jednačine.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{7}$$