Riješi 12345x^2+54321x-99999=0

$$12345 x ^ { 2 } + 54321 x - 99999 = 0$$

Riješite za x

$$x = \frac{\sqrt{876524629} - 18107}{8230} \approx 1,397224621$$

$$x=\frac{-\sqrt{876524629}-18107}{8230}\approx -5,797467635$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$12345x^{2}+54321x-99999=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 12345 i a, 54321 i b, kao i -99999 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-54321±\sqrt{54321^{2}-4\times 12345\left(-99999\right)}}{2\times 12345}$$

Izračunajte kvadrat od 54321.

$$x=\frac{-54321±\sqrt{2950771041-4\times 12345\left(-99999\right)}}{2\times 12345}$$

Pomnožite -4 i 12345.

$$x=\frac{-54321±\sqrt{2950771041-49380\left(-99999\right)}}{2\times 12345}$$

Pomnožite -49380 i -99999.

$$x=\frac{-54321±\sqrt{2950771041+4937950620}}{2\times 12345}$$

Saberite 2950771041 i 4937950620.

$$x=\frac{-54321±\sqrt{7888721661}}{2\times 12345}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 7888721661.

$$x=\frac{-54321±3\sqrt{876524629}}{2\times 12345}$$

Pomnožite 2 i 12345.

$$x=\frac{-54321±3\sqrt{876524629}}{24690}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{-54321±3\sqrt{876524629}}{24690} kada je ± plus. Saberite -54321 i 3\sqrt{876524629}.

$$x=\frac{3\sqrt{876524629}-54321}{24690}$$

Podijelite -54321+3\sqrt{876524629} sa 24690.

$$x=\frac{\sqrt{876524629}-18107}{8230}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{-54321±3\sqrt{876524629}}{24690} kada je ± minus. Oduzmite 3\sqrt{876524629} od -54321.

$$x=\frac{-3\sqrt{876524629}-54321}{24690}$$

Podijelite -54321-3\sqrt{876524629} sa 24690.

$$x=\frac{-\sqrt{876524629}-18107}{8230}$$

Jednačina je riješena.

$$x=\frac{\sqrt{876524629}-18107}{8230} x=\frac{-\sqrt{876524629}-18107}{8230}$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$12345x^{2}+54321x-99999=0$$

Dodajte 99999 na obje strane jednačine.

$$12345x^{2}+54321x-99999-\left(-99999\right)=-\left(-99999\right)$$

Oduzimanjem -99999 od samog sebe ostaje 0.

$$12345x^{2}+54321x=-\left(-99999\right)$$

Oduzmite -99999 od 0.

$$12345x^{2}+54321x=99999$$

Podijelite obje strane s 12345.

$$\frac{12345x^{2}+54321x}{12345}=\frac{99999}{12345}$$

Dijelјenje sa 12345 poništava množenje sa 12345.

$$x^{2}+\frac{54321}{12345}x=\frac{99999}{12345}$$

Svedite razlomak \frac{54321}{12345} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 3.

$$x^{2}+\frac{18107}{4115}x=\frac{99999}{12345}$$

Svedite razlomak \frac{99999}{12345} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 3.

$$x^{2}+\frac{18107}{4115}x=\frac{33333}{4115}$$

Podijelite \frac{18107}{4115}, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili \frac{18107}{8230}. Zatim dodajte kvadrat od \frac{18107}{8230} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}+\frac{18107}{4115}x+\left(\frac{18107}{8230}\right)^{2}=\frac{33333}{4115}+\left(\frac{18107}{8230}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od \frac{18107}{8230} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$x^{2}+\frac{18107}{4115}x+\frac{327863449}{67732900}=\frac{33333}{4115}+\frac{327863449}{67732900}$$

Saberite \frac{33333}{4115} i \frac{327863449}{67732900} tako što ćete pronaći zajednički imenilac i sabrati brojioce. Zatim svedite razlomak na najniže termine ukoliko je moguće.

$$x^{2}+\frac{18107}{4115}x+\frac{327863449}{67732900}=\frac{876524629}{67732900}$$

Faktor x^{2}+\frac{18107}{4115}x+\frac{327863449}{67732900}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{18107}{8230}\right)^{2}=\frac{876524629}{67732900}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x+\frac{18107}{8230}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{876524629}{67732900}}$$

Pojednostavite.

$$x+\frac{18107}{8230}=\frac{\sqrt{876524629}}{8230} x+\frac{18107}{8230}=-\frac{\sqrt{876524629}}{8230}$$

Oduzmite \frac{18107}{8230} s obje strane jednačine.

$$x=\frac{\sqrt{876524629}-18107}{8230} x=\frac{-\sqrt{876524629}-18107}{8230}$$