Riješi 120x^2+8000x-92000=0

$$120 { x }^{ 2 } +8000x-92000=0$$

Riješite za x

$$x = -\frac{230}{3} = -76\frac{2}{3} \approx -76,666666667$$

$$x=10$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Podijelite obje strane s 40.

$$3x^{2}+200x-2300=0$$

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao 3x^{2}+ax+bx-2300. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=200 ab=3\left(-2300\right)=-6900$$

Pošto je ab negativno, a a b ima suprotan znak. Pošto je a+b pozitivno, pozitivan broj ima veću apsolutnu vrijednost od negativnog. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod -6900.

$$-1,6900 -2,3450 -3,2300 -4,1725 -5,1380 -6,1150 -10,690 -12,575 -15,460 -20,345 -23,300 -25,276 -30,230 -46,150 -50,138 -60,115 -69,100 -75,92$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$-1+6900=6899 -2+3450=3448 -3+2300=2297 -4+1725=1721 -5+1380=1375 -6+1150=1144 -10+690=680 -12+575=563 -15+460=445 -20+345=325 -23+300=277 -25+276=251 -30+230=200 -46+150=104 -50+138=88 -60+115=55 -69+100=31 -75+92=17$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu 200.

$$a=-30 b=230$$

Ponovo napišite 3x^{2}+200x-2300 kao \left(3x^{2}-30x\right)+\left(230x-2300\right).

$$\left(3x^{2}-30x\right)+\left(230x-2300\right)$$

Isključite 3x u prvoj i 230 drugoj grupi.

$$3x\left(x-10\right)+230\left(x-10\right)$$

Izdvojite obični izraz x-10 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(x-10\right)\left(3x+230\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite x-10=0 i 3x+230=0.

$$x=10 x=-\frac{230}{3}$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$120x^{2}+8000x-92000=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 120 i a, 8000 i b, kao i -92000 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{8000^{2}-4\times 120\left(-92000\right)}}{2\times 120}$$

Izračunajte kvadrat od 8000.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{64000000-4\times 120\left(-92000\right)}}{2\times 120}$$

Pomnožite -4 i 120.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{64000000-480\left(-92000\right)}}{2\times 120}$$

Pomnožite -480 i -92000.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{64000000+44160000}}{2\times 120}$$

Saberite 64000000 i 44160000.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{108160000}}{2\times 120}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 108160000.

$$x=\frac{-8000±10400}{2\times 120}$$

Pomnožite 2 i 120.

$$x=\frac{-8000±10400}{240}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{-8000±10400}{240} kada je ± plus. Saberite -8000 i 10400.

$$x=\frac{2400}{240}$$

Podijelite 2400 sa 240.

$$x=10$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{-8000±10400}{240} kada je ± minus. Oduzmite 10400 od -8000.

$$x=-\frac{18400}{240}$$

Svedite razlomak \frac{-18400}{240} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 80.

$$x=-\frac{230}{3}$$

Jednačina je riješena.

$$x=10 x=-\frac{230}{3}$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$120x^{2}+8000x-92000=0$$

Dodajte 92000 na obje strane jednačine.

$$120x^{2}+8000x-92000-\left(-92000\right)=-\left(-92000\right)$$

Oduzimanjem -92000 od samog sebe ostaje 0.

$$120x^{2}+8000x=-\left(-92000\right)$$

Oduzmite -92000 od 0.

$$120x^{2}+8000x=92000$$

Podijelite obje strane s 120.

$$\frac{120x^{2}+8000x}{120}=\frac{92000}{120}$$

Dijelјenje sa 120 poništava množenje sa 120.

$$x^{2}+\frac{8000}{120}x=\frac{92000}{120}$$

Svedite razlomak \frac{8000}{120} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 40.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x=\frac{92000}{120}$$

Svedite razlomak \frac{92000}{120} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 40.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x=\frac{2300}{3}$$

Podijelite \frac{200}{3}, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili \frac{100}{3}. Zatim dodajte kvadrat od \frac{100}{3} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\left(\frac{100}{3}\right)^{2}=\frac{2300}{3}+\left(\frac{100}{3}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od \frac{100}{3} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}=\frac{2300}{3}+\frac{10000}{9}$$

Saberite \frac{2300}{3} i \frac{10000}{9} tako što ćete pronaći zajednički imenilac i sabrati brojioce. Zatim svedite razlomak na najniže termine ukoliko je moguće.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}=\frac{16900}{9}$$

Faktor x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{100}{3}\right)^{2}=\frac{16900}{9}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x+\frac{100}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{16900}{9}}$$

Pojednostavite.

$$x+\frac{100}{3}=\frac{130}{3} x+\frac{100}{3}=-\frac{130}{3}$$

Oduzmite \frac{100}{3} s obje strane jednačine.

$$x=10 x=-\frac{230}{3}$$