Riješi 12(n-4)-30=n^2-9n+12

$$12 ( n - 4 ) - 30 = n ^ { 2 } - 9 n + 12$$

Riješite za n

$$n=6$$

$$n=15$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Koristite distributivno svojstvo da biste pomnožili 12 sa n-4.

$$12n-48-30=n^{2}-9n+12$$

Oduzmite 30 od -48 da biste dobili -78.

$$12n-78=n^{2}-9n+12$$

Oduzmite n^{2} s obje strane.

$$12n-78-n^{2}=-9n+12$$

Dodajte 9n na obje strane.

$$12n-78-n^{2}+9n=12$$

Kombinirajte 12n i 9n da biste dobili 21n.

$$21n-78-n^{2}=12$$

Oduzmite 12 s obje strane.

$$21n-78-n^{2}-12=0$$

Oduzmite 12 od -78 da biste dobili -90.

$$21n-90-n^{2}=0$$

Prerasporedite jednačinu da biste je stavili u standardni oblik. Postavite termine redoslijedom od najvišeg do najnižeg stepena.

$$-n^{2}+21n-90=0$$

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao -n^{2}+an+bn-90. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=21 ab=-\left(-90\right)=90$$

Pošto je ab pozitivno, a a b ima isti znak. Pošto je a+b pozitivno, a a b su oba pozitivna. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod 90.

$$1,90 2,45 3,30 5,18 6,15 9,10$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$1+90=91 2+45=47 3+30=33 5+18=23 6+15=21 9+10=19$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu 21.

$$a=15 b=6$$

Ponovo napišite -n^{2}+21n-90 kao \left(-n^{2}+15n\right)+\left(6n-90\right).

$$\left(-n^{2}+15n\right)+\left(6n-90\right)$$

Isključite -n u prvoj i 6 drugoj grupi.

$$-n\left(n-15\right)+6\left(n-15\right)$$

Izdvojite obični izraz n-15 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(n-15\right)\left(-n+6\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite n-15=0 i -n+6=0.

$$n=15 n=6$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Koristite distributivno svojstvo da biste pomnožili 12 sa n-4.

$$12n-48-30=n^{2}-9n+12$$

Oduzmite 30 od -48 da biste dobili -78.

$$12n-78=n^{2}-9n+12$$

Oduzmite n^{2} s obje strane.

$$12n-78-n^{2}=-9n+12$$

Dodajte 9n na obje strane.

$$12n-78-n^{2}+9n=12$$

Kombinirajte 12n i 9n da biste dobili 21n.

$$21n-78-n^{2}=12$$

Oduzmite 12 s obje strane.

$$21n-78-n^{2}-12=0$$

Oduzmite 12 od -78 da biste dobili -90.

$$21n-90-n^{2}=0$$

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$-n^{2}+21n-90=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite -1 i a, 21 i b, kao i -90 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-21±\sqrt{21^{2}-4\left(-1\right)\left(-90\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Izračunajte kvadrat od 21.

$$n=\frac{-21±\sqrt{441-4\left(-1\right)\left(-90\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Pomnožite -4 i -1.

$$n=\frac{-21±\sqrt{441+4\left(-90\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Pomnožite 4 i -90.

$$n=\frac{-21±\sqrt{441-360}}{2\left(-1\right)}$$

Saberite 441 i -360.

$$n=\frac{-21±\sqrt{81}}{2\left(-1\right)}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 81.

$$n=\frac{-21±9}{2\left(-1\right)}$$

Pomnožite 2 i -1.

$$n=\frac{-21±9}{-2}$$

Sada riješite jednačinu n=\frac{-21±9}{-2} kada je ± plus. Saberite -21 i 9.

$$n=-\frac{12}{-2}$$

Podijelite -12 sa -2.

$$n=6$$

Sada riješite jednačinu n=\frac{-21±9}{-2} kada je ± minus. Oduzmite 9 od -21.

$$n=-\frac{30}{-2}$$

Podijelite -30 sa -2.

$$n=15$$

Jednačina je riješena.

$$n=6 n=15$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Koristite distributivno svojstvo da biste pomnožili 12 sa n-4.

$$12n-48-30=n^{2}-9n+12$$

Oduzmite 30 od -48 da biste dobili -78.

$$12n-78=n^{2}-9n+12$$

Oduzmite n^{2} s obje strane.

$$12n-78-n^{2}=-9n+12$$

Dodajte 9n na obje strane.

$$12n-78-n^{2}+9n=12$$

Kombinirajte 12n i 9n da biste dobili 21n.

$$21n-78-n^{2}=12$$

Dodajte 78 na obje strane.

$$21n-n^{2}=12+78$$

Saberite 12 i 78 da biste dobili 90.

$$21n-n^{2}=90$$

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$-n^{2}+21n=90$$

Podijelite obje strane s -1.

$$\frac{-n^{2}+21n}{-1}=\frac{90}{-1}$$

Dijelјenje sa -1 poništava množenje sa -1.

$$n^{2}+\frac{21}{-1}n=\frac{90}{-1}$$

Podijelite 21 sa -1.

$$n^{2}-21n=\frac{90}{-1}$$

Podijelite 90 sa -1.

$$n^{2}-21n=-90$$

Podijelite -21, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili -\frac{21}{2}. Zatim dodajte kvadrat od -\frac{21}{2} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$n^{2}-21n+\left(-\frac{21}{2}\right)^{2}=-90+\left(-\frac{21}{2}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od -\frac{21}{2} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$n^{2}-21n+\frac{441}{4}=-90+\frac{441}{4}$$

Saberite -90 i \frac{441}{4}.

$$n^{2}-21n+\frac{441}{4}=\frac{81}{4}$$

Faktor n^{2}-21n+\frac{441}{4}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{21}{2}\right)^{2}=\frac{81}{4}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(n-\frac{21}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{4}}$$

Pojednostavite.

$$n-\frac{21}{2}=\frac{9}{2} n-\frac{21}{2}=-\frac{9}{2}$$

Dodajte \frac{21}{2} na obje strane jednačine.

$$n=15 n=6$$