Riješi 12x^2+13x+3=0

$$12 { x }^{ 2 } +13x+3 = 0$$

Riješite za x

$$x=-\frac{3}{4}=-0,75$$

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao 12x^{2}+ax+bx+3. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=13 ab=12\times 3=36$$

Pošto je ab pozitivno, a a b ima isti znak. Pošto je a+b pozitivno, a a b su oba pozitivna. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod 36.

$$1,36 2,18 3,12 4,9 6,6$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$1+36=37 2+18=20 3+12=15 4+9=13 6+6=12$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu 13.

$$a=4 b=9$$

Ponovo napišite 12x^{2}+13x+3 kao \left(12x^{2}+4x\right)+\left(9x+3\right).

$$\left(12x^{2}+4x\right)+\left(9x+3\right)$$

Isključite 4x u prvoj i 3 drugoj grupi.

$$4x\left(3x+1\right)+3\left(3x+1\right)$$

Izdvojite obični izraz 3x+1 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(3x+1\right)\left(4x+3\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite 3x+1=0 i 4x+3=0.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{3}{4}$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$12x^{2}+13x+3=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 12 i a, 13 i b, kao i 3 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\times 12\times 3}}{2\times 12}$$

Izračunajte kvadrat od 13.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\times 12\times 3}}{2\times 12}$$

Pomnožite -4 i 12.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-48\times 3}}{2\times 12}$$

Pomnožite -48 i 3.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-144}}{2\times 12}$$

Saberite 169 i -144.

$$x=\frac{-13±\sqrt{25}}{2\times 12}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 25.

$$x=\frac{-13±5}{2\times 12}$$

Pomnožite 2 i 12.

$$x=\frac{-13±5}{24}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{-13±5}{24} kada je ± plus. Saberite -13 i 5.

$$x=-\frac{8}{24}$$

Svedite razlomak \frac{-8}{24} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 8.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{-13±5}{24} kada je ± minus. Oduzmite 5 od -13.

$$x=-\frac{18}{24}$$

Svedite razlomak \frac{-18}{24} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 6.

$$x=-\frac{3}{4}$$

Jednačina je riješena.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{3}{4}$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}+13x+3=0$$

Oduzmite 3 s obje strane jednačine.

$$12x^{2}+13x+3-3=-3$$

Oduzimanjem 3 od samog sebe ostaje 0.

$$12x^{2}+13x=-3$$

Podijelite obje strane s 12.

$$\frac{12x^{2}+13x}{12}=-\frac{3}{12}$$

Dijelјenje sa 12 poništava množenje sa 12.

$$x^{2}+\frac{13}{12}x=-\frac{3}{12}$$

Svedite razlomak \frac{-3}{12} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 3.

$$x^{2}+\frac{13}{12}x=-\frac{1}{4}$$

Podijelite \frac{13}{12}, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili \frac{13}{24}. Zatim dodajte kvadrat od \frac{13}{24} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}+\frac{13}{12}x+\left(\frac{13}{24}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(\frac{13}{24}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od \frac{13}{24} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$x^{2}+\frac{13}{12}x+\frac{169}{576}=-\frac{1}{4}+\frac{169}{576}$$

Saberite -\frac{1}{4} i \frac{169}{576} tako što ćete pronaći zajednički imenilac i sabrati brojioce. Zatim svedite razlomak na najniže termine ukoliko je moguće.

$$x^{2}+\frac{13}{12}x+\frac{169}{576}=\frac{25}{576}$$

Faktor x^{2}+\frac{13}{12}x+\frac{169}{576}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{13}{24}\right)^{2}=\frac{25}{576}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x+\frac{13}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{576}}$$

Pojednostavite.

$$x+\frac{13}{24}=\frac{5}{24} x+\frac{13}{24}=-\frac{5}{24}$$

Oduzmite \frac{13}{24} s obje strane jednačine.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{3}{4}$$