Riješi 11x^2-12x+3=0

$$11 x ^ { 2 } - 12 x + 3 = 0$$

Riješite za x

$$x=\frac{\sqrt{3}+6}{11}\approx 0,70291371$$

$$x=\frac{6-\sqrt{3}}{11}\approx 0,387995381$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$11x^{2}-12x+3=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 11 i a, -12 i b, kao i 3 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 11\times 3}}{2\times 11}$$

Izračunajte kvadrat od -12.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 11\times 3}}{2\times 11}$$

Pomnožite -4 i 11.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-44\times 3}}{2\times 11}$$

Pomnožite -44 i 3.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-132}}{2\times 11}$$

Saberite 144 i -132.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{12}}{2\times 11}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 12.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±2\sqrt{3}}{2\times 11}$$

Opozit broja -12 je 12.

$$x=\frac{12±2\sqrt{3}}{2\times 11}$$

Pomnožite 2 i 11.

$$x=\frac{12±2\sqrt{3}}{22}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{12±2\sqrt{3}}{22} kada je ± plus. Saberite 12 i 2\sqrt{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{3}+12}{22}$$

Podijelite 12+2\sqrt{3} sa 22.

$$x=\frac{\sqrt{3}+6}{11}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{12±2\sqrt{3}}{22} kada je ± minus. Oduzmite 2\sqrt{3} od 12.

$$x=\frac{12-2\sqrt{3}}{22}$$

Podijelite 12-2\sqrt{3} sa 22.

$$x=\frac{6-\sqrt{3}}{11}$$

Jednačina je riješena.

$$x=\frac{\sqrt{3}+6}{11} x=\frac{6-\sqrt{3}}{11}$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$11x^{2}-12x+3=0$$

Oduzmite 3 s obje strane jednačine.

$$11x^{2}-12x+3-3=-3$$

Oduzimanjem 3 od samog sebe ostaje 0.

$$11x^{2}-12x=-3$$

Podijelite obje strane s 11.

$$\frac{11x^{2}-12x}{11}=-\frac{3}{11}$$

Dijelјenje sa 11 poništava množenje sa 11.

$$x^{2}-\frac{12}{11}x=-\frac{3}{11}$$

Podijelite -\frac{12}{11}, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili -\frac{6}{11}. Zatim dodajte kvadrat od -\frac{6}{11} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}-\frac{12}{11}x+\left(-\frac{6}{11}\right)^{2}=-\frac{3}{11}+\left(-\frac{6}{11}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od -\frac{6}{11} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$x^{2}-\frac{12}{11}x+\frac{36}{121}=-\frac{3}{11}+\frac{36}{121}$$

Saberite -\frac{3}{11} i \frac{36}{121} tako što ćete pronaći zajednički imenilac i sabrati brojioce. Zatim svedite razlomak na najniže termine ukoliko je moguće.

$$x^{2}-\frac{12}{11}x+\frac{36}{121}=\frac{3}{121}$$

Faktor x^{2}-\frac{12}{11}x+\frac{36}{121}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{6}{11}\right)^{2}=\frac{3}{121}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x-\frac{6}{11}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3}{121}}$$

Pojednostavite.

$$x-\frac{6}{11}=\frac{\sqrt{3}}{11} x-\frac{6}{11}=-\frac{\sqrt{3}}{11}$$

Dodajte \frac{6}{11} na obje strane jednačine.

$$x=\frac{\sqrt{3}+6}{11} x=\frac{6-\sqrt{3}}{11}$$