Riješi 11x^2-9x+1>0

$$11 { x }^{ 2 } -9x+1 > 0$$

Riješite za x

$$x\in \left(-\infty,\frac{9-\sqrt{37}}{22}\right)\cup \left(\frac{\sqrt{37}+9}{22},\infty\right)$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Da biste riješili nejednačinu, faktorirajte lijevu stranu. Kvadratni polinom se može faktorirati pomoću transformacije ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), pri čemu x_{1} i x_{2} predstavlјaju rješenja kvadratne jednačine ax^{2}+bx+c=0.

$$11x^{2}-9x+1=0$$

Sve nejednakosti izraza ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti korištenjem kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Zamijenite 11 sa a, -9 sa b i 1 sa c u kvadratnoj formuli.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 11\times 1}}{2\times 11}$$

Izvršite računanje.

$$x=\frac{9±\sqrt{37}}{22}$$

Riješite jednačinu x=\frac{9±\sqrt{37}}{22} kad je ± pozitivno i kad je ± negativno.

$$x=\frac{\sqrt{37}+9}{22} x=\frac{9-\sqrt{37}}{22}$$

Ponovo napišite nejednačinu koristeći dobivena rješenja.

$$11\left(x-\frac{\sqrt{37}+9}{22}\right)\left(x-\frac{9-\sqrt{37}}{22}\right)>0$$

Da bi proizvod bio pozitivan, obje vrijednosti x-\frac{\sqrt{37}+9}{22} i x-\frac{9-\sqrt{37}}{22} moraju biti negativne ili pozitivne. Razmotrite slučaj kad su x-\frac{\sqrt{37}+9}{22} i x-\frac{9-\sqrt{37}}{22} negativni.

$$x-\frac{\sqrt{37}+9}{22}<0 x-\frac{9-\sqrt{37}}{22}<0$$

Rješenje koje zadovoljava obje nejednakosti je x<\frac{9-\sqrt{37}}{22}.

$$x<\frac{9-\sqrt{37}}{22}$$

Razmotrite slučaj kad su x-\frac{\sqrt{37}+9}{22} i x-\frac{9-\sqrt{37}}{22} pozitivni.

$$x-\frac{9-\sqrt{37}}{22}>0 x-\frac{\sqrt{37}+9}{22}>0$$

Rješenje koje zadovoljava obje nejednakosti je x>\frac{\sqrt{37}+9}{22}.

$$x>\frac{\sqrt{37}+9}{22}$$

Konačno rješenje je unija dobivenih rješenja.

$$x<\frac{9-\sqrt{37}}{22}\text{; }x>\frac{\sqrt{37}+9}{22}$$