Riješi 10x^2+7x-12=0

$$10 x ^ { 2 } + 7 x - 12 = 0$$

Riješite za x

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

$$x=\frac{4}{5}=0,8$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao 10x^{2}+ax+bx-12. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=7 ab=10\left(-12\right)=-120$$

Pošto je ab negativno, a a b ima suprotan znak. Pošto je a+b pozitivno, pozitivan broj ima veću apsolutnu vrijednost od negativnog. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod -120.

$$-1,120 -2,60 -3,40 -4,30 -5,24 -6,20 -8,15 -10,12$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$-1+120=119 -2+60=58 -3+40=37 -4+30=26 -5+24=19 -6+20=14 -8+15=7 -10+12=2$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu 7.

$$a=-8 b=15$$

Ponovo napišite 10x^{2}+7x-12 kao \left(10x^{2}-8x\right)+\left(15x-12\right).

$$\left(10x^{2}-8x\right)+\left(15x-12\right)$$

Isključite 2x u prvoj i 3 drugoj grupi.

$$2x\left(5x-4\right)+3\left(5x-4\right)$$

Izdvojite obični izraz 5x-4 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(5x-4\right)\left(2x+3\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite 5x-4=0 i 2x+3=0.

$$x=\frac{4}{5} x=-\frac{3}{2}$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$10x^{2}+7x-12=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 10 i a, 7 i b, kao i -12 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 10\left(-12\right)}}{2\times 10}$$

Izračunajte kvadrat od 7.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 10\left(-12\right)}}{2\times 10}$$

Pomnožite -4 i 10.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-40\left(-12\right)}}{2\times 10}$$

Pomnožite -40 i -12.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+480}}{2\times 10}$$

Saberite 49 i 480.

$$x=\frac{-7±\sqrt{529}}{2\times 10}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 529.

$$x=\frac{-7±23}{2\times 10}$$

Pomnožite 2 i 10.

$$x=\frac{-7±23}{20}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{-7±23}{20} kada je ± plus. Saberite -7 i 23.

$$x=\frac{16}{20}$$

Svedite razlomak \frac{16}{20} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 4.

$$x=\frac{4}{5}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{-7±23}{20} kada je ± minus. Oduzmite 23 od -7.

$$x=-\frac{30}{20}$$

Svedite razlomak \frac{-30}{20} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 10.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Jednačina je riješena.

$$x=\frac{4}{5} x=-\frac{3}{2}$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$10x^{2}+7x-12=0$$

Dodajte 12 na obje strane jednačine.

$$10x^{2}+7x-12-\left(-12\right)=-\left(-12\right)$$

Oduzimanjem -12 od samog sebe ostaje 0.

$$10x^{2}+7x=-\left(-12\right)$$

Oduzmite -12 od 0.

$$10x^{2}+7x=12$$

Podijelite obje strane s 10.

$$\frac{10x^{2}+7x}{10}=\frac{12}{10}$$

Dijelјenje sa 10 poništava množenje sa 10.

$$x^{2}+\frac{7}{10}x=\frac{12}{10}$$

Svedite razlomak \frac{12}{10} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 2.

$$x^{2}+\frac{7}{10}x=\frac{6}{5}$$

Podijelite \frac{7}{10}, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili \frac{7}{20}. Zatim dodajte kvadrat od \frac{7}{20} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}+\frac{7}{10}x+\left(\frac{7}{20}\right)^{2}=\frac{6}{5}+\left(\frac{7}{20}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od \frac{7}{20} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$x^{2}+\frac{7}{10}x+\frac{49}{400}=\frac{6}{5}+\frac{49}{400}$$

Saberite \frac{6}{5} i \frac{49}{400} tako što ćete pronaći zajednički imenilac i sabrati brojioce. Zatim svedite razlomak na najniže termine ukoliko je moguće.

$$x^{2}+\frac{7}{10}x+\frac{49}{400}=\frac{529}{400}$$

Faktor x^{2}+\frac{7}{10}x+\frac{49}{400}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{20}\right)^{2}=\frac{529}{400}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{20}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{400}}$$

Pojednostavite.

$$x+\frac{7}{20}=\frac{23}{20} x+\frac{7}{20}=-\frac{23}{20}$$

Oduzmite \frac{7}{20} s obje strane jednačine.

$$x=\frac{4}{5} x=-\frac{3}{2}$$