Riješi 10k^2+9k-1=0

$$10 k ^ { 2 } + 9 k - 1 = 0$$

Riješite za k

$$k=-1$$

$$k=\frac{1}{10}=0,1$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao 10k^{2}+ak+bk-1. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=9 ab=10\left(-1\right)=-10$$

Pošto je ab negativno, a a b ima suprotan znak. Pošto je a+b pozitivno, pozitivan broj ima veću apsolutnu vrijednost od negativnog. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod -10.

$$-1,10 -2,5$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$-1+10=9 -2+5=3$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu 9.

$$a=-1 b=10$$

Ponovo napišite 10k^{2}+9k-1 kao \left(10k^{2}-k\right)+\left(10k-1\right).

$$\left(10k^{2}-k\right)+\left(10k-1\right)$$

Izdvojite k iz 10k^{2}-k.

$$k\left(10k-1\right)+10k-1$$

Izdvojite obični izraz 10k-1 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(10k-1\right)\left(k+1\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite 10k-1=0 i k+1=0.

$$k=\frac{1}{10} k=-1$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$10k^{2}+9k-1=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 10 i a, 9 i b, kao i -1 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$k=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 10\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

Izračunajte kvadrat od 9.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 10\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

Pomnožite -4 i 10.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-40\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

Pomnožite -40 i -1.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81+40}}{2\times 10}$$

Saberite 81 i 40.

$$k=\frac{-9±\sqrt{121}}{2\times 10}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 121.

$$k=\frac{-9±11}{2\times 10}$$

Pomnožite 2 i 10.

$$k=\frac{-9±11}{20}$$

Sada riješite jednačinu k=\frac{-9±11}{20} kada je ± plus. Saberite -9 i 11.

$$k=\frac{2}{20}$$

Svedite razlomak \frac{2}{20} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 2.

$$k=\frac{1}{10}$$

Sada riješite jednačinu k=\frac{-9±11}{20} kada je ± minus. Oduzmite 11 od -9.

$$k=-\frac{20}{20}$$

Podijelite -20 sa 20.

$$k=-1$$

Jednačina je riješena.

$$k=\frac{1}{10} k=-1$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$10k^{2}+9k-1=0$$

Dodajte 1 na obje strane jednačine.

$$10k^{2}+9k-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Oduzimanjem -1 od samog sebe ostaje 0.

$$10k^{2}+9k=-\left(-1\right)$$

Oduzmite -1 od 0.

$$10k^{2}+9k=1$$

Podijelite obje strane s 10.

$$\frac{10k^{2}+9k}{10}=\frac{1}{10}$$

Dijelјenje sa 10 poništava množenje sa 10.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k=\frac{1}{10}$$

Podijelite \frac{9}{10}, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili \frac{9}{20}. Zatim dodajte kvadrat od \frac{9}{20} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k+\left(\frac{9}{20}\right)^{2}=\frac{1}{10}+\left(\frac{9}{20}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od \frac{9}{20} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k+\frac{81}{400}=\frac{1}{10}+\frac{81}{400}$$

Saberite \frac{1}{10} i \frac{81}{400} tako što ćete pronaći zajednički imenilac i sabrati brojioce. Zatim svedite razlomak na najniže termine ukoliko je moguće.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k+\frac{81}{400}=\frac{121}{400}$$

Faktor k^{2}+\frac{9}{10}k+\frac{81}{400}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(k+\frac{9}{20}\right)^{2}=\frac{121}{400}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(k+\frac{9}{20}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{400}}$$

Pojednostavite.

$$k+\frac{9}{20}=\frac{11}{20} k+\frac{9}{20}=-\frac{11}{20}$$

Oduzmite \frac{9}{20} s obje strane jednačine.

$$k=\frac{1}{10} k=-1$$