Riješi -4x^2+20x-47=0

$$-4 { x }^{ 2 } +20x-47=0$$

Riješite za x (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{22}i+5}{2}\approx 2,5-2,34520788i$$

$$x=\frac{5+\sqrt{22}i}{2}\approx 2,5+2,34520788i$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$-4x^{2}+20x-47=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite -4 i a, 20 i b, kao i -47 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\left(-4\right)\left(-47\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Izračunajte kvadrat od 20.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\left(-4\right)\left(-47\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Pomnožite -4 i -4.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400+16\left(-47\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Pomnožite 16 i -47.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-752}}{2\left(-4\right)}$$

Saberite 400 i -752.

$$x=\frac{-20±\sqrt{-352}}{2\left(-4\right)}$$

Izračunajte kvadratni korijen od -352.

$$x=\frac{-20±4\sqrt{22}i}{2\left(-4\right)}$$

Pomnožite 2 i -4.

$$x=\frac{-20±4\sqrt{22}i}{-8}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{-20±4\sqrt{22}i}{-8} kada je ± plus. Saberite -20 i 4i\sqrt{22}.

$$x=\frac{-20+4\sqrt{22}i}{-8}$$

Podijelite -20+4i\sqrt{22} sa -8.

$$x=\frac{-\sqrt{22}i+5}{2}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{-20±4\sqrt{22}i}{-8} kada je ± minus. Oduzmite 4i\sqrt{22} od -20.

$$x=\frac{-4\sqrt{22}i-20}{-8}$$

Podijelite -20-4i\sqrt{22} sa -8.

$$x=\frac{5+\sqrt{22}i}{2}$$

Jednačina je riješena.

$$x=\frac{-\sqrt{22}i+5}{2} x=\frac{5+\sqrt{22}i}{2}$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$-4x^{2}+20x-47=0$$

Dodajte 47 na obje strane jednačine.

$$-4x^{2}+20x-47-\left(-47\right)=-\left(-47\right)$$

Oduzimanjem -47 od samog sebe ostaje 0.

$$-4x^{2}+20x=-\left(-47\right)$$

Oduzmite -47 od 0.

$$-4x^{2}+20x=47$$

Podijelite obje strane s -4.

$$\frac{-4x^{2}+20x}{-4}=\frac{47}{-4}$$

Dijelјenje sa -4 poništava množenje sa -4.

$$x^{2}+\frac{20}{-4}x=\frac{47}{-4}$$

Podijelite 20 sa -4.

$$x^{2}-5x=\frac{47}{-4}$$

Podijelite 47 sa -4.

$$x^{2}-5x=-\frac{47}{4}$$

Podijelite -5, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili -\frac{5}{2}. Zatim dodajte kvadrat od -\frac{5}{2} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=-\frac{47}{4}+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od -\frac{5}{2} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{-47+25}{4}$$

Saberite -\frac{47}{4} i \frac{25}{4} tako što ćete pronaći zajednički imenilac i sabrati brojioce. Zatim svedite razlomak na najniže termine ukoliko je moguće.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=-\frac{11}{2}$$

Faktor x^{2}-5x+\frac{25}{4}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=-\frac{11}{2}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{2}}$$

Pojednostavite.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{22}i}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{22}i}{2}$$

Dodajte \frac{5}{2} na obje strane jednačine.

$$x=\frac{5+\sqrt{22}i}{2} x=\frac{-\sqrt{22}i+5}{2}$$