Riješi -3x^2-8x+16=0

$$-3 { x }^{ 2 } -8x+16=0$$

Riješite za x

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1,333333333$$

$$x=-4$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao -3x^{2}+ax+bx+16. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=-8 ab=-3\times 16=-48$$

Pošto je ab negativno, a a b ima suprotan znak. Pošto je a+b negativan, negativan broj ima veću apsolutnu vrijednost od pozitivnog. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod -48.

$$1,-48 2,-24 3,-16 4,-12 6,-8$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$1-48=-47 2-24=-22 3-16=-13 4-12=-8 6-8=-2$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu -8.

$$a=4 b=-12$$

Ponovo napišite -3x^{2}-8x+16 kao \left(-3x^{2}+4x\right)+\left(-12x+16\right).

$$\left(-3x^{2}+4x\right)+\left(-12x+16\right)$$

Isključite -x u prvoj i -4 drugoj grupi.

$$-x\left(3x-4\right)-4\left(3x-4\right)$$

Izdvojite obični izraz 3x-4 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(3x-4\right)\left(-x-4\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite 3x-4=0 i -x-4=0.

$$x=\frac{4}{3} x=-4$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$-3x^{2}-8x+16=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite -3 i a, -8 i b, kao i 16 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\left(-3\right)\times 16}}{2\left(-3\right)}$$

Izračunajte kvadrat od -8.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\left(-3\right)\times 16}}{2\left(-3\right)}$$

Pomnožite -4 i -3.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+12\times 16}}{2\left(-3\right)}$$

Pomnožite 12 i 16.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+192}}{2\left(-3\right)}$$

Saberite 64 i 192.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{256}}{2\left(-3\right)}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 256.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±16}{2\left(-3\right)}$$

Opozit broja -8 je 8.

$$x=\frac{8±16}{2\left(-3\right)}$$

Pomnožite 2 i -3.

$$x=\frac{8±16}{-6}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{8±16}{-6} kada je ± plus. Saberite 8 i 16.

$$x=\frac{24}{-6}$$

Podijelite 24 sa -6.

$$x=-4$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{8±16}{-6} kada je ± minus. Oduzmite 16 od 8.

$$x=-\frac{8}{-6}$$

Svedite razlomak \frac{-8}{-6} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 2.

$$x=\frac{4}{3}$$

Jednačina je riješena.

$$x=-4 x=\frac{4}{3}$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}-8x+16=0$$

Oduzmite 16 s obje strane jednačine.

$$-3x^{2}-8x+16-16=-16$$

Oduzimanjem 16 od samog sebe ostaje 0.

$$-3x^{2}-8x=-16$$

Podijelite obje strane s -3.

$$\frac{-3x^{2}-8x}{-3}=-\frac{16}{-3}$$

Dijelјenje sa -3 poništava množenje sa -3.

$$x^{2}+\left(-\frac{8}{-3}\right)x=-\frac{16}{-3}$$

Podijelite -8 sa -3.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x=-\frac{16}{-3}$$

Podijelite -16 sa -3.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x=\frac{16}{3}$$

Podijelite \frac{8}{3}, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili \frac{4}{3}. Zatim dodajte kvadrat od \frac{4}{3} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{16}{3}+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od \frac{4}{3} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{16}{3}+\frac{16}{9}$$

Saberite \frac{16}{3} i \frac{16}{9} tako što ćete pronaći zajednički imenilac i sabrati brojioce. Zatim svedite razlomak na najniže termine ukoliko je moguće.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{64}{9}$$

Faktorirajte x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}. Uopćeno govoreći, kada je x^{2}+bx+c savršeni kvadrat, on se uvijek može faktorirati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{64}{9}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{64}{9}}$$

Pojednostavite.

$$x+\frac{4}{3}=\frac{8}{3} x+\frac{4}{3}=-\frac{8}{3}$$

Oduzmite \frac{4}{3} s obje strane jednačine.

$$x=\frac{4}{3} x=-4$$