Riješi -3x^2+16x+128=0

$$-3 { x }^{ 2 } +16x+128=0$$

Riješite za x

$$x = \frac{8 \sqrt{7} + 8}{3} \approx 9,722003496$$

$$x=\frac{8-8\sqrt{7}}{3}\approx -4,388670163$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$-3x^{2}+16x+128=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite -3 i a, 16 i b, kao i 128 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\left(-3\right)\times 128}}{2\left(-3\right)}$$

Izračunajte kvadrat od 16.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-4\left(-3\right)\times 128}}{2\left(-3\right)}$$

Pomnožite -4 i -3.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256+12\times 128}}{2\left(-3\right)}$$

Pomnožite 12 i 128.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256+1536}}{2\left(-3\right)}$$

Saberite 256 i 1536.

$$x=\frac{-16±\sqrt{1792}}{2\left(-3\right)}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 1792.

$$x=\frac{-16±16\sqrt{7}}{2\left(-3\right)}$$

Pomnožite 2 i -3.

$$x=\frac{-16±16\sqrt{7}}{-6}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{-16±16\sqrt{7}}{-6} kada je ± plus. Saberite -16 i 16\sqrt{7}.

$$x=\frac{16\sqrt{7}-16}{-6}$$

Podijelite -16+16\sqrt{7} sa -6.

$$x=\frac{8-8\sqrt{7}}{3}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{-16±16\sqrt{7}}{-6} kada je ± minus. Oduzmite 16\sqrt{7} od -16.

$$x=\frac{-16\sqrt{7}-16}{-6}$$

Podijelite -16-16\sqrt{7} sa -6.

$$x=\frac{8\sqrt{7}+8}{3}$$

Jednačina je riješena.

$$x=\frac{8-8\sqrt{7}}{3} x=\frac{8\sqrt{7}+8}{3}$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}+16x+128=0$$

Oduzmite 128 s obje strane jednačine.

$$-3x^{2}+16x+128-128=-128$$

Oduzimanjem 128 od samog sebe ostaje 0.

$$-3x^{2}+16x=-128$$

Podijelite obje strane s -3.

$$\frac{-3x^{2}+16x}{-3}=-\frac{128}{-3}$$

Dijelјenje sa -3 poništava množenje sa -3.

$$x^{2}+\frac{16}{-3}x=-\frac{128}{-3}$$

Podijelite 16 sa -3.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x=-\frac{128}{-3}$$

Podijelite -128 sa -3.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x=\frac{128}{3}$$

Podijelite -\frac{16}{3}, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili -\frac{8}{3}. Zatim dodajte kvadrat od -\frac{8}{3} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x+\left(-\frac{8}{3}\right)^{2}=\frac{128}{3}+\left(-\frac{8}{3}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od -\frac{8}{3} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=\frac{128}{3}+\frac{64}{9}$$

Saberite \frac{128}{3} i \frac{64}{9} tako što ćete pronaći zajednički imenilac i sabrati brojioce. Zatim svedite razlomak na najniže termine ukoliko je moguće.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=\frac{448}{9}$$

Faktor x^{2}-\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{8}{3}\right)^{2}=\frac{448}{9}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x-\frac{8}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{448}{9}}$$

Pojednostavite.

$$x-\frac{8}{3}=\frac{8\sqrt{7}}{3} x-\frac{8}{3}=-\frac{8\sqrt{7}}{3}$$

Dodajte \frac{8}{3} na obje strane jednačine.

$$x=\frac{8\sqrt{7}+8}{3} x=\frac{8-8\sqrt{7}}{3}$$