Riješi -x^2-x-1=0

$$- x ^ { 2 } - x - 1 = 0$$

Riješite za x (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}\approx -0,5-0,866025404i$$

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\approx -0,5+0,866025404i$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$-x^{2}-x-1=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite -1 i a, -1 i b, kao i -1 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Pomnožite -4 i -1.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Pomnožite 4 i -1.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4}}{2\left(-1\right)}$$

Saberite 1 i -4.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{-3}}{2\left(-1\right)}$$

Izračunajte kvadratni korijen od -3.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{3}i}{2\left(-1\right)}$$

Opozit broja -1 je 1.

$$x=\frac{1±\sqrt{3}i}{2\left(-1\right)}$$

Pomnožite 2 i -1.

$$x=\frac{1±\sqrt{3}i}{-2}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{1±\sqrt{3}i}{-2} kada je ± plus. Saberite 1 i i\sqrt{3}.

$$x=\frac{1+\sqrt{3}i}{-2}$$

Podijelite 1+i\sqrt{3} sa -2.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{1±\sqrt{3}i}{-2} kada je ± minus. Oduzmite i\sqrt{3} od 1.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i+1}{-2}$$

Podijelite 1-i\sqrt{3} sa -2.

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$$

Jednačina je riješena.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2} x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}-x-1=0$$

Dodajte 1 na obje strane jednačine.

$$-x^{2}-x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Oduzimanjem -1 od samog sebe ostaje 0.

$$-x^{2}-x=-\left(-1\right)$$

Oduzmite -1 od 0.

$$-x^{2}-x=1$$

Podijelite obje strane s -1.

$$\frac{-x^{2}-x}{-1}=\frac{1}{-1}$$

Dijelјenje sa -1 poništava množenje sa -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{1}{-1}\right)x=\frac{1}{-1}$$

Podijelite -1 sa -1.

$$x^{2}+x=\frac{1}{-1}$$

Podijelite 1 sa -1.

$$x^{2}+x=-1$$

Podijelite 1, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili \frac{1}{2}. Zatim dodajte kvadrat od \frac{1}{2} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-1+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od \frac{1}{2} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-1+\frac{1}{4}$$

Saberite -1 i \frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{3}{4}$$

Faktor x^{2}+x+\frac{1}{4}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{3}{4}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3}{4}}$$

Pojednostavite.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}i}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}i}{2}$$

Oduzmite \frac{1}{2} s obje strane jednačine.

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2} x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}$$