Riješi -6y+2x=12text{and}x-3(x+2)=2y-8x

$$- 6 y + 2 x = 12 \text { and } x - 3 ( x + 2 ) = 2 y - 8 x$$

Riješite za y, x

$$x=\frac{3}{8}=0,375$$

$$y = -\frac{15}{8} = -1\frac{7}{8} = -1,875$$

Koraci pomoću zamjene

Pojednostavite drugu jednačinu. Koristite distributivno svojstvo da biste pomnožili -3 sa x+2.

$$x-3x-6=2y-8x$$

Kombinirajte x i -3x da biste dobili -2x.

$$-2x-6=2y-8x$$

Oduzmite 2y s obje strane.

$$-2x-6-2y=-8x$$

Dodajte 8x na obje strane.

$$-2x-6-2y+8x=0$$

Kombinirajte -2x i 8x da biste dobili 6x.

$$6x-6-2y=0$$

Dodajte 6 na obje strane. Bilo šta plus nula daje sebe.

$$6x-2y=6$$

Da biste riješili par jednačina pomoću zamjene, prvo riješite jednu od jednačina za jednu od promjenlјivih. Zatim zamijenite rezultat za tu promjenlјivu u drugoj jednačini.

$$-6y+2x=12,-2y+6x=6$$

Odaberite jednu od jednačina i riješite je za y tako što ćete izdvojiti y na lijevoj strani znaka jednakosti.

$$-6y+2x=12$$

Oduzmite 2x s obje strane jednačine.

$$-6y=-2x+12$$

Podijelite obje strane s -6.

$$y=-\frac{1}{6}\left(-2x+12\right)$$

Pomnožite -\frac{1}{6} i -2x+12.

$$y=\frac{1}{3}x-2$$

Zamijenite \frac{x}{3}-2 za y u drugoj jednačini, -2y+6x=6.

$$-2\left(\frac{1}{3}x-2\right)+6x=6$$

Pomnožite -2 i \frac{x}{3}-2.

$$-\frac{2}{3}x+4+6x=6$$

Saberite -\frac{2x}{3} i 6x.

$$\frac{16}{3}x+4=6$$

Oduzmite 4 s obje strane jednačine.

$$\frac{16}{3}x=2$$

Podijelite obje strane jednačine sa \frac{16}{3}, što je isto kao množenje obje strane recipročnom vrijednošću razlomka.

$$x=\frac{3}{8}$$

Zamijenite \frac{3}{8} za x u y=\frac{1}{3}x-2. Pošto dobijena jednačina sadrži samo jednu promjenlјivu, možete direktno riješiti za y.

$$y=\frac{1}{3}\times \frac{3}{8}-2$$

Pomnožite \frac{1}{3} i \frac{3}{8} tako što ćete pomnožiti brojilac sa brojiocem i imenilac sa imeniocem. Zatim reducirajte razlomak na najniže termine ako je moguće.

$$y=\frac{1}{8}-2$$

Saberite -2 i \frac{1}{8}.

$$y=-\frac{15}{8}$$

Sistem je riješen.

$$y=-\frac{15}{8},x=\frac{3}{8}$$

Koraci pomoću matrica

Pojednostavite drugu jednačinu. Koristite distributivno svojstvo da biste pomnožili -3 sa x+2.

$$x-3x-6=2y-8x$$

Kombinirajte x i -3x da biste dobili -2x.

$$-2x-6=2y-8x$$

Oduzmite 2y s obje strane.

$$-2x-6-2y=-8x$$

Dodajte 8x na obje strane.

$$-2x-6-2y+8x=0$$

Kombinirajte -2x i 8x da biste dobili 6x.

$$6x-6-2y=0$$

Dodajte 6 na obje strane. Bilo šta plus nula daje sebe.

$$6x-2y=6$$

Stavite jednačine u standardni oblik, a zatim koristite matrice da biste riješili sistem jednačina.

$$-6y+2x=12,-2y+6x=6$$

Napišite jednačinu u obliku matrice.

$$\left(\begin{matrix}-6&2\\-2&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\6\end{matrix}\right)$$

Pomnožite jednačinu s lijeve strane inverznom matricom \left(\begin{matrix}-6&2\\-2&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-6&2\\-2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6&2\\-2&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&2\\-2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\6\end{matrix}\right)$$

Umnožak matrice i njena inverza je jedinična matrica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&2\\-2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\6\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice s lijeve strane znaka jednakosti.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&2\\-2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\6\end{matrix}\right)$$

Za matricu 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), inverzna matrica je \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), pa se jednačina matrice može ponovo napisati kao problem množenja matrice.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{-6\times 6-2\left(-2\right)}&-\frac{2}{-6\times 6-2\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{-6\times 6-2\left(-2\right)}&-\frac{6}{-6\times 6-2\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\6\end{matrix}\right)$$

Izvršite aritmetičku operaciju.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{16}&\frac{1}{16}\\-\frac{1}{16}&\frac{3}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\6\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{16}\times 12+\frac{1}{16}\times 6\\-\frac{1}{16}\times 12+\frac{3}{16}\times 6\end{matrix}\right)$$

Izvršite aritmetičku operaciju.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{15}{8}\\\frac{3}{8}\end{matrix}\right)$$

Izdvojite elemente matrice y i x.

$$y=-\frac{15}{8},x=\frac{3}{8}$$

Koraci pomoću eliminacije

Pojednostavite drugu jednačinu. Koristite distributivno svojstvo da biste pomnožili -3 sa x+2.

$$x-3x-6=2y-8x$$

Kombinirajte x i -3x da biste dobili -2x.

$$-2x-6=2y-8x$$

Oduzmite 2y s obje strane.

$$-2x-6-2y=-8x$$

Dodajte 8x na obje strane.

$$-2x-6-2y+8x=0$$

Kombinirajte -2x i 8x da biste dobili 6x.

$$6x-6-2y=0$$

Dodajte 6 na obje strane. Bilo šta plus nula daje sebe.

$$6x-2y=6$$

Da bi se riješilo putem eliminacije, koeficijenti jedne od promjenlјivih moraju biti isti u obje jednačine kako bi promjenlјiva bila izbačena kada se jedna jednačina oduzme od druge.

$$-6y+2x=12,-2y+6x=6$$

Da bi -6y i -2y bili jednaki, pomnožite sve termine na svakoj strani prve jednačine sa -2 i sve termine na svakoj strani druge jednačine sa -6.

$$-2\left(-6\right)y-2\times 2x=-2\times 12,-6\left(-2\right)y-6\times 6x=-6\times 6$$

Pojednostavite.

$$12y-4x=-24,12y-36x=-36$$

Oduzmite 12y-36x=-36 od 12y-4x=-24 tako što ćete oduzeti slične termine na svakoj strani znaka jednakosti.

$$12y-12y-4x+36x=-24+36$$

Saberite 12y i -12y. Izrazi 12y i -12y se krate, čime ostaje jednačina sa samo jednom promjenјivom koja se može riješiti.

$$-4x+36x=-24+36$$

Saberite -4x i 36x.

$$32x=-24+36$$

Saberite -24 i 36.

$$32x=12$$

Podijelite obje strane s 32.

$$x=\frac{3}{8}$$

Zamijenite \frac{3}{8} za x u -2y+6x=6. Pošto dobijena jednačina sadrži samo jednu promjenlјivu, možete direktno riješiti za y.

$$-2y+6\times \frac{3}{8}=6$$

Pomnožite 6 i \frac{3}{8}.

$$-2y+\frac{9}{4}=6$$

Oduzmite \frac{9}{4} s obje strane jednačine.

$$-2y=\frac{15}{4}$$

Podijelite obje strane s -2.

$$y=-\frac{15}{8}$$

Sistem je riješen.

$$y=-\frac{15}{8},x=\frac{3}{8}$$