Riješi -3x^2+51x-156=0

$$- 3 x ^ { 2 } + 51 x - 156 = 0$$

Riješite za x

$$x=4$$

$$x=13$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Podijelite obje strane s 3.

$$-x^{2}+17x-52=0$$

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao -x^{2}+ax+bx-52. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=17 ab=-\left(-52\right)=52$$

Pošto je ab pozitivno, a a b ima isti znak. Pošto je a+b pozitivno, a a b su oba pozitivna. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod 52.

$$1,52 2,26 4,13$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$1+52=53 2+26=28 4+13=17$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu 17.

$$a=13 b=4$$

Ponovo napišite -x^{2}+17x-52 kao \left(-x^{2}+13x\right)+\left(4x-52\right).

$$\left(-x^{2}+13x\right)+\left(4x-52\right)$$

Isključite -x u prvoj i 4 drugoj grupi.

$$-x\left(x-13\right)+4\left(x-13\right)$$

Izdvojite obični izraz x-13 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(x-13\right)\left(-x+4\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite x-13=0 i -x+4=0.

$$x=13 x=4$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$-3x^{2}+51x-156=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite -3 i a, 51 i b, kao i -156 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-51±\sqrt{51^{2}-4\left(-3\right)\left(-156\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Izračunajte kvadrat od 51.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601-4\left(-3\right)\left(-156\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Pomnožite -4 i -3.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601+12\left(-156\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Pomnožite 12 i -156.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601-1872}}{2\left(-3\right)}$$

Saberite 2601 i -1872.

$$x=\frac{-51±\sqrt{729}}{2\left(-3\right)}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 729.

$$x=\frac{-51±27}{2\left(-3\right)}$$

Pomnožite 2 i -3.

$$x=\frac{-51±27}{-6}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{-51±27}{-6} kada je ± plus. Saberite -51 i 27.

$$x=-\frac{24}{-6}$$

Podijelite -24 sa -6.

$$x=4$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{-51±27}{-6} kada je ± minus. Oduzmite 27 od -51.

$$x=-\frac{78}{-6}$$

Podijelite -78 sa -6.

$$x=13$$

Jednačina je riješena.

$$x=4 x=13$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}+51x-156=0$$

Dodajte 156 na obje strane jednačine.

$$-3x^{2}+51x-156-\left(-156\right)=-\left(-156\right)$$

Oduzimanjem -156 od samog sebe ostaje 0.

$$-3x^{2}+51x=-\left(-156\right)$$

Oduzmite -156 od 0.

$$-3x^{2}+51x=156$$

Podijelite obje strane s -3.

$$\frac{-3x^{2}+51x}{-3}=\frac{156}{-3}$$

Dijelјenje sa -3 poništava množenje sa -3.

$$x^{2}+\frac{51}{-3}x=\frac{156}{-3}$$

Podijelite 51 sa -3.

$$x^{2}-17x=\frac{156}{-3}$$

Podijelite 156 sa -3.

$$x^{2}-17x=-52$$

Podijelite -17, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili -\frac{17}{2}. Zatim dodajte kvadrat od -\frac{17}{2} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}-17x+\left(-\frac{17}{2}\right)^{2}=-52+\left(-\frac{17}{2}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od -\frac{17}{2} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$x^{2}-17x+\frac{289}{4}=-52+\frac{289}{4}$$

Saberite -52 i \frac{289}{4}.

$$x^{2}-17x+\frac{289}{4}=\frac{81}{4}$$

Faktor x^{2}-17x+\frac{289}{4}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{17}{2}\right)^{2}=\frac{81}{4}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x-\frac{17}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{4}}$$

Pojednostavite.

$$x-\frac{17}{2}=\frac{9}{2} x-\frac{17}{2}=-\frac{9}{2}$$

Dodajte \frac{17}{2} na obje strane jednačine.

$$x=13 x=4$$