Riješi -2x-y=10text{and}3x-4y=-4

$$- 2 x - y = 10 \text { and } 3 x - 4 y = - 4$$

Riješite za x, y

$$x=-4$$

$$y=-2$$

Koraci pomoću zamjene

Da biste riješili par jednačina pomoću zamjene, prvo riješite jednu od jednačina za jednu od promjenlјivih. Zatim zamijenite rezultat za tu promjenlјivu u drugoj jednačini.

$$-2x-y=10,3x-4y=-4$$

Odaberite jednu od jednačina i riješite je za x tako što ćete izdvojiti x na lijevoj strani znaka jednakosti.

$$-2x-y=10$$

Dodajte y na obje strane jednačine.

$$-2x=y+10$$

Podijelite obje strane s -2.

$$x=-\frac{1}{2}\left(y+10\right)$$

Pomnožite -\frac{1}{2} i y+10.

$$x=-\frac{1}{2}y-5$$

Zamijenite -\frac{y}{2}-5 za x u drugoj jednačini, 3x-4y=-4.

$$3\left(-\frac{1}{2}y-5\right)-4y=-4$$

Pomnožite 3 i -\frac{y}{2}-5.

$$-\frac{3}{2}y-15-4y=-4$$

Saberite -\frac{3y}{2} i -4y.

$$-\frac{11}{2}y-15=-4$$

Dodajte 15 na obje strane jednačine.

$$-\frac{11}{2}y=11$$

Podijelite obje strane jednačine sa -\frac{11}{2}, što je isto kao množenje obje strane recipročnom vrijednošću razlomka.

$$y=-2$$

Zamijenite -2 za y u x=-\frac{1}{2}y-5. Pošto dobijena jednačina sadrži samo jednu promjenlјivu, možete direktno riješiti za x.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-2\right)-5$$

Pomnožite -\frac{1}{2} i -2.

$$x=1-5$$

Saberite -5 i 1.

$$x=-4$$

Sistem je riješen.

$$x=-4,y=-2$$

Koraci pomoću matrica

Stavite jednačine u standardni oblik, a zatim koristite matrice da biste riješili sistem jednačina.

$$-2x-y=10,3x-4y=-4$$

Napišite jednačinu u obliku matrice.

$$\left(\begin{matrix}-2&-1\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-4\end{matrix}\right)$$

Pomnožite jednačinu s lijeve strane inverznom matricom \left(\begin{matrix}-2&-1\\3&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&-1\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-4\end{matrix}\right)$$

Umnožak matrice i njena inverza je jedinična matrica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-4\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice s lijeve strane znaka jednakosti.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-4\end{matrix}\right)$$

Za matricu 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), inverzna matrica je \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), pa se jednačina matrice može ponovo napisati kao problem množenja matrice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-2\left(-4\right)-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{-2\left(-4\right)-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{-2\left(-4\right)-\left(-3\right)}&-\frac{2}{-2\left(-4\right)-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-4\end{matrix}\right)$$

Izvršite aritmetičku operaciju.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{11}&\frac{1}{11}\\-\frac{3}{11}&-\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-4\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{11}\times 10+\frac{1}{11}\left(-4\right)\\-\frac{3}{11}\times 10-\frac{2}{11}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Izvršite aritmetičku operaciju.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-2\end{matrix}\right)$$

Izdvojite elemente matrice x i y.

$$x=-4,y=-2$$

Koraci pomoću eliminacije

Da bi se riješilo putem eliminacije, koeficijenti jedne od promjenlјivih moraju biti isti u obje jednačine kako bi promjenlјiva bila izbačena kada se jedna jednačina oduzme od druge.

$$-2x-y=10,3x-4y=-4$$

Da bi -2x i 3x bili jednaki, pomnožite sve termine na svakoj strani prve jednačine sa 3 i sve termine na svakoj strani druge jednačine sa -2.

$$3\left(-2\right)x+3\left(-1\right)y=3\times 10,-2\times 3x-2\left(-4\right)y=-2\left(-4\right)$$

Pojednostavite.

$$-6x-3y=30,-6x+8y=8$$

Oduzmite -6x+8y=8 od -6x-3y=30 tako što ćete oduzeti slične termine na svakoj strani znaka jednakosti.

$$-6x+6x-3y-8y=30-8$$

Saberite -6x i 6x. Izrazi -6x i 6x se krate, čime ostaje jednačina sa samo jednom promjenјivom koja se može riješiti.

$$-3y-8y=30-8$$

Saberite -3y i -8y.

$$-11y=30-8$$

Saberite 30 i -8.

$$-11y=22$$

Podijelite obje strane s -11.

$$y=-2$$

Zamijenite -2 za y u 3x-4y=-4. Pošto dobijena jednačina sadrži samo jednu promjenlјivu, možete direktno riješiti za x.

$$3x-4\left(-2\right)=-4$$

Pomnožite -4 i -2.

$$3x+8=-4$$

Oduzmite 8 s obje strane jednačine.

$$3x=-12$$

Podijelite obje strane s 3.

$$x=-4$$

Sistem je riješen.

$$x=-4,y=-2$$