Riješi -2x^2+12x-14>0

$$- 2 x ^ { 2 } + 12 x - 14 > 0$$

Riješite za x

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Pomnožite nejednačinu s -1 kako biste koeficijent najviše potencije u izrazu -2x^{2}+12x-14 učinili pozitivnim. Pošto je -1 negativan, smjer nejednačine je promijenjen.

$$2x^{2}-12x+14<0$$

Da biste riješili nejednačinu, faktorirajte lijevu stranu. Kvadratni polinom se može faktorirati pomoću transformacije ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), pri čemu x_{1} i x_{2} predstavlјaju rješenja kvadratne jednačine ax^{2}+bx+c=0.

$$2x^{2}-12x+14=0$$

Sve nejednakosti izraza ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti korištenjem kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Zamijenite 2 sa a, -12 sa b i 14 sa c u kvadratnoj formuli.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 2\times 14}}{2\times 2}$$

Izvršite računanje.

$$x=\frac{12±4\sqrt{2}}{4}$$

Riješite jednačinu x=\frac{12±4\sqrt{2}}{4} kad je ± pozitivno i kad je ± negativno.

$$x=\sqrt{2}+3 x=3-\sqrt{2}$$

Ponovo napišite nejednačinu koristeći dobivena rješenja.

$$2\left(x-\left(\sqrt{2}+3\right)\right)\left(x-\left(3-\sqrt{2}\right)\right)<0$$

Da bi proizvod bio negativan, x-\left(\sqrt{2}+3\right) i x-\left(3-\sqrt{2}\right) moraju imati suprotne predznake. Razmotrite slučaj kad je x-\left(\sqrt{2}+3\right) pozitivno, a x-\left(3-\sqrt{2}\right) negativno.

$$x-\left(\sqrt{2}+3\right)>0 x-\left(3-\sqrt{2}\right)<0$$

Ovo je netačno za svaki x.

$$x\in \emptyset$$

Razmotrite slučaj kad je x-\left(3-\sqrt{2}\right) pozitivno, a x-\left(\sqrt{2}+3\right) negativno.

$$x-\left(3-\sqrt{2}\right)>0 x-\left(\sqrt{2}+3\right)<0$$

Rješenje koje zadovoljava obje nejednakosti je x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right).

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$

Konačno rješenje je unija dobivenih rješenja.

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$