Riješi -16t^2+64t+80=128

$$- 16 t ^ { 2 } + 64 t + 80 = 128$$

Riješite za t

$$t=1$$

$$t=3$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Oduzmite 128 s obje strane.

$$-16t^{2}+64t+80-128=0$$

Oduzmite 128 od 80 da biste dobili -48.

$$-16t^{2}+64t-48=0$$

Podijelite obje strane s 16.

$$-t^{2}+4t-3=0$$

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao -t^{2}+at+bt-3. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=4 ab=-\left(-3\right)=3$$

Pošto je ab pozitivno, a a b ima isti znak. Pošto je a+b pozitivno, a a b su oba pozitivna. Jedini takav par je rješenje sistema.

$$a=3 b=1$$

Ponovo napišite -t^{2}+4t-3 kao \left(-t^{2}+3t\right)+\left(t-3\right).

$$\left(-t^{2}+3t\right)+\left(t-3\right)$$

Izdvojite -t iz -t^{2}+3t.

$$-t\left(t-3\right)+t-3$$

Izdvojite obični izraz t-3 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(t-3\right)\left(-t+1\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite t-3=0 i -t+1=0.

$$t=3 t=1$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$-16t^{2}+64t+80=128$$

Oduzmite 128 s obje strane jednačine.

$$-16t^{2}+64t+80-128=128-128$$

Oduzimanjem 128 od samog sebe ostaje 0.

$$-16t^{2}+64t+80-128=0$$

Oduzmite 128 od 80.

$$-16t^{2}+64t-48=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite -16 i a, 64 i b, kao i -48 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-64±\sqrt{64^{2}-4\left(-16\right)\left(-48\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Izračunajte kvadrat od 64.

$$t=\frac{-64±\sqrt{4096-4\left(-16\right)\left(-48\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Pomnožite -4 i -16.

$$t=\frac{-64±\sqrt{4096+64\left(-48\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Pomnožite 64 i -48.

$$t=\frac{-64±\sqrt{4096-3072}}{2\left(-16\right)}$$

Saberite 4096 i -3072.

$$t=\frac{-64±\sqrt{1024}}{2\left(-16\right)}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 1024.

$$t=\frac{-64±32}{2\left(-16\right)}$$

Pomnožite 2 i -16.

$$t=\frac{-64±32}{-32}$$

Sada riješite jednačinu t=\frac{-64±32}{-32} kada je ± plus. Saberite -64 i 32.

$$t=-\frac{32}{-32}$$

Podijelite -32 sa -32.

$$t=1$$

Sada riješite jednačinu t=\frac{-64±32}{-32} kada je ± minus. Oduzmite 32 od -64.

$$t=-\frac{96}{-32}$$

Podijelite -96 sa -32.

$$t=3$$

Jednačina je riješena.

$$t=1 t=3$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$-16t^{2}+64t+80=128$$

Oduzmite 80 s obje strane jednačine.

$$-16t^{2}+64t+80-80=128-80$$

Oduzimanjem 80 od samog sebe ostaje 0.

$$-16t^{2}+64t=128-80$$

Oduzmite 80 od 128.

$$-16t^{2}+64t=48$$

Podijelite obje strane s -16.

$$\frac{-16t^{2}+64t}{-16}=\frac{48}{-16}$$

Dijelјenje sa -16 poništava množenje sa -16.

$$t^{2}+\frac{64}{-16}t=\frac{48}{-16}$$

Podijelite 64 sa -16.

$$t^{2}-4t=\frac{48}{-16}$$

Podijelite 48 sa -16.

$$t^{2}-4t=-3$$

Podijelite -4, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili -2. Zatim dodajte kvadrat od -2 na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$t^{2}-4t+\left(-2\right)^{2}=-3+\left(-2\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od -2.

$$t^{2}-4t+4=-3+4$$

Saberite -3 i 4.

$$t^{2}-4t+4=1$$

Faktor t^{2}-4t+4. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-2\right)^{2}=1$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(t-2\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

Pojednostavite.

$$t-2=1 t-2=-1$$

Dodajte 2 na obje strane jednačine.

$$t=3 t=1$$