Riješi (2x-3)(x+1)-(x-2)<0

$$(2x-3)(x+1)-(x-2) < 0$$

Riješite za x

$$x\in \left(\frac{1-\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{3}+1}{2}\right)$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Koristite svojstvo distributivnosti da biste pomnožili 2x-3 s x+1 i kombinirali slične pojmove.

$$2x^{2}-x-3-\left(x-2\right)<0$$

Da biste pronašli suprotnu vrijednost od x-2, pronađite suprotnu vrijednost svakog izraza.

$$2x^{2}-x-3-x+2<0$$

Kombinirajte -x i -x da biste dobili -2x.

$$2x^{2}-2x-3+2<0$$

Saberite -3 i 2 da biste dobili -1.

$$2x^{2}-2x-1<0$$

Da biste riješili nejednačinu, faktorirajte lijevu stranu. Kvadratni polinom se može faktorirati pomoću transformacije ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), pri čemu x_{1} i x_{2} predstavlјaju rješenja kvadratne jednačine ax^{2}+bx+c=0.

$$2x^{2}-2x-1=0$$

Sve nejednakosti izraza ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti korištenjem kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Zamijenite 2 sa a, -2 sa b i -1 sa c u kvadratnoj formuli.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Izvršite računanje.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4}$$

Riješite jednačinu x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4} kad je ± pozitivno i kad je ± negativno.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$

Ponovo napišite nejednačinu koristeći dobivena rješenja.

$$2\left(x-\frac{\sqrt{3}+1}{2}\right)\left(x-\frac{1-\sqrt{3}}{2}\right)<0$$

Da bi proizvod bio negativan, x-\frac{\sqrt{3}+1}{2} i x-\frac{1-\sqrt{3}}{2} moraju imati suprotne predznake. Razmotrite slučaj kad je x-\frac{\sqrt{3}+1}{2} pozitivno, a x-\frac{1-\sqrt{3}}{2} negativno.

$$x-\frac{\sqrt{3}+1}{2}>0 x-\frac{1-\sqrt{3}}{2}<0$$

Ovo je netačno za svaki x.

$$x\in \emptyset$$

Razmotrite slučaj kad je x-\frac{1-\sqrt{3}}{2} pozitivno, a x-\frac{\sqrt{3}+1}{2} negativno.

$$x-\frac{1-\sqrt{3}}{2}>0 x-\frac{\sqrt{3}+1}{2}<0$$

Rješenje koje zadovoljava obje nejednakosti je x\in \left(\frac{1-\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{3}+1}{2}\right).

$$x\in \left(\frac{1-\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{3}+1}{2}\right)$$

Konačno rješenje je unija dobivenih rješenja.

$$x\in \left(\frac{1-\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{3}+1}{2}\right)$$