Riješi (y-4)^2=2y^2-11y-12

$$( y - 4 ) ^ { 2 } = 2 y ^ { 2 } - 11 y - 12$$

Riješite za y

$$y=-4$$

$$y=7$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Koristite binomnu teoremu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} da biste proširili \left(y-4\right)^{2}.

$$y^{2}-8y+16=2y^{2}-11y-12$$

Oduzmite 2y^{2} s obje strane.

$$y^{2}-8y+16-2y^{2}=-11y-12$$

Kombinirajte y^{2} i -2y^{2} da biste dobili -y^{2}.

$$-y^{2}-8y+16=-11y-12$$

Dodajte 11y na obje strane.

$$-y^{2}-8y+16+11y=-12$$

Kombinirajte -8y i 11y da biste dobili 3y.

$$-y^{2}+3y+16=-12$$

Dodajte 12 na obje strane.

$$-y^{2}+3y+16+12=0$$

Saberite 16 i 12 da biste dobili 28.

$$-y^{2}+3y+28=0$$

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao -y^{2}+ay+by+28. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=3 ab=-28=-28$$

Pošto je ab negativno, a a b ima suprotan znak. Pošto je a+b pozitivno, pozitivan broj ima veću apsolutnu vrijednost od negativnog. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod -28.

$$-1,28 -2,14 -4,7$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$-1+28=27 -2+14=12 -4+7=3$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu 3.

$$a=7 b=-4$$

Ponovo napišite -y^{2}+3y+28 kao \left(-y^{2}+7y\right)+\left(-4y+28\right).

$$\left(-y^{2}+7y\right)+\left(-4y+28\right)$$

Isključite -y u prvoj i -4 drugoj grupi.

$$-y\left(y-7\right)-4\left(y-7\right)$$

Izdvojite obični izraz y-7 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(y-7\right)\left(-y-4\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite y-7=0 i -y-4=0.

$$y=7 y=-4$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Koristite binomnu teoremu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} da biste proširili \left(y-4\right)^{2}.

$$y^{2}-8y+16=2y^{2}-11y-12$$

Oduzmite 2y^{2} s obje strane.

$$y^{2}-8y+16-2y^{2}=-11y-12$$

Kombinirajte y^{2} i -2y^{2} da biste dobili -y^{2}.

$$-y^{2}-8y+16=-11y-12$$

Dodajte 11y na obje strane.

$$-y^{2}-8y+16+11y=-12$$

Kombinirajte -8y i 11y da biste dobili 3y.

$$-y^{2}+3y+16=-12$$

Dodajte 12 na obje strane.

$$-y^{2}+3y+16+12=0$$

Saberite 16 i 12 da biste dobili 28.

$$-y^{2}+3y+28=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite -1 i a, 3 i b, kao i 28 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-1\right)\times 28}}{2\left(-1\right)}$$

Izračunajte kvadrat od 3.

$$y=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-1\right)\times 28}}{2\left(-1\right)}$$

Pomnožite -4 i -1.

$$y=\frac{-3±\sqrt{9+4\times 28}}{2\left(-1\right)}$$

Pomnožite 4 i 28.

$$y=\frac{-3±\sqrt{9+112}}{2\left(-1\right)}$$

Saberite 9 i 112.

$$y=\frac{-3±\sqrt{121}}{2\left(-1\right)}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 121.

$$y=\frac{-3±11}{2\left(-1\right)}$$

Pomnožite 2 i -1.

$$y=\frac{-3±11}{-2}$$

Sada riješite jednačinu y=\frac{-3±11}{-2} kada je ± plus. Saberite -3 i 11.

$$y=\frac{8}{-2}$$

Podijelite 8 sa -2.

$$y=-4$$

Sada riješite jednačinu y=\frac{-3±11}{-2} kada je ± minus. Oduzmite 11 od -3.

$$y=-\frac{14}{-2}$$

Podijelite -14 sa -2.

$$y=7$$

Jednačina je riješena.

$$y=-4 y=7$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Koristite binomnu teoremu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} da biste proširili \left(y-4\right)^{2}.

$$y^{2}-8y+16=2y^{2}-11y-12$$

Oduzmite 2y^{2} s obje strane.

$$y^{2}-8y+16-2y^{2}=-11y-12$$

Kombinirajte y^{2} i -2y^{2} da biste dobili -y^{2}.

$$-y^{2}-8y+16=-11y-12$$

Dodajte 11y na obje strane.

$$-y^{2}-8y+16+11y=-12$$

Kombinirajte -8y i 11y da biste dobili 3y.

$$-y^{2}+3y+16=-12$$

Oduzmite 16 s obje strane.

$$-y^{2}+3y=-12-16$$

Oduzmite 16 od -12 da biste dobili -28.

$$-y^{2}+3y=-28$$

Podijelite obje strane s -1.

$$\frac{-y^{2}+3y}{-1}=-\frac{28}{-1}$$

Dijelјenje sa -1 poništava množenje sa -1.

$$y^{2}+\frac{3}{-1}y=-\frac{28}{-1}$$

Podijelite 3 sa -1.

$$y^{2}-3y=-\frac{28}{-1}$$

Podijelite -28 sa -1.

$$y^{2}-3y=28$$

Podijelite -3, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili -\frac{3}{2}. Zatim dodajte kvadrat od -\frac{3}{2} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$y^{2}-3y+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=28+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od -\frac{3}{2} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$y^{2}-3y+\frac{9}{4}=28+\frac{9}{4}$$

Saberite 28 i \frac{9}{4}.

$$y^{2}-3y+\frac{9}{4}=\frac{121}{4}$$

Faktor y^{2}-3y+\frac{9}{4}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(y-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Pojednostavite.

$$y-\frac{3}{2}=\frac{11}{2} y-\frac{3}{2}=-\frac{11}{2}$$

Dodajte \frac{3}{2} na obje strane jednačine.

$$y=7 y=-4$$