Riješi (x-3)^2+(x+4)^2=16

$$( x - 3 ) ^ { 2 } + ( x + 4 ) ^ { 2 } = 16$$

Riješite za x (complex solution)

$$x=\frac{-1+\sqrt{17}i}{2}\approx -0,5+2,061552813i$$

$$x=\frac{-\sqrt{17}i-1}{2}\approx -0,5-2,061552813i$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Koristite binomnu teoremu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} da biste proširili \left(x-3\right)^{2}.

$$x^{2}-6x+9+\left(x+4\right)^{2}=16$$

Koristite binomnu teoremu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} da biste proširili \left(x+4\right)^{2}.

$$x^{2}-6x+9+x^{2}+8x+16=16$$

Kombinirajte x^{2} i x^{2} da biste dobili 2x^{2}.

$$2x^{2}-6x+9+8x+16=16$$

Kombinirajte -6x i 8x da biste dobili 2x.

$$2x^{2}+2x+9+16=16$$

Saberite 9 i 16 da biste dobili 25.

$$2x^{2}+2x+25=16$$

Oduzmite 16 s obje strane.

$$2x^{2}+2x+25-16=0$$

Oduzmite 16 od 25 da biste dobili 9.

$$2x^{2}+2x+9=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 2 i a, 2 i b, kao i 9 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 2\times 9}}{2\times 2}$$

Izračunajte kvadrat od 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 2\times 9}}{2\times 2}$$

Pomnožite -4 i 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-8\times 9}}{2\times 2}$$

Pomnožite -8 i 9.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-72}}{2\times 2}$$

Saberite 4 i -72.

$$x=\frac{-2±\sqrt{-68}}{2\times 2}$$

Izračunajte kvadratni korijen od -68.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{17}i}{2\times 2}$$

Pomnožite 2 i 2.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{17}i}{4}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{-2±2\sqrt{17}i}{4} kada je ± plus. Saberite -2 i 2i\sqrt{17}.

$$x=\frac{-2+2\sqrt{17}i}{4}$$

Podijelite -2+2i\sqrt{17} sa 4.

$$x=\frac{-1+\sqrt{17}i}{2}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{-2±2\sqrt{17}i}{4} kada je ± minus. Oduzmite 2i\sqrt{17} od -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{17}i-2}{4}$$

Podijelite -2-2i\sqrt{17} sa 4.

$$x=\frac{-\sqrt{17}i-1}{2}$$

Jednačina je riješena.

$$x=\frac{-1+\sqrt{17}i}{2} x=\frac{-\sqrt{17}i-1}{2}$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Koristite binomnu teoremu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} da biste proširili \left(x-3\right)^{2}.

$$x^{2}-6x+9+\left(x+4\right)^{2}=16$$

Koristite binomnu teoremu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} da biste proširili \left(x+4\right)^{2}.

$$x^{2}-6x+9+x^{2}+8x+16=16$$

Kombinirajte x^{2} i x^{2} da biste dobili 2x^{2}.

$$2x^{2}-6x+9+8x+16=16$$

Kombinirajte -6x i 8x da biste dobili 2x.

$$2x^{2}+2x+9+16=16$$

Saberite 9 i 16 da biste dobili 25.

$$2x^{2}+2x+25=16$$

Oduzmite 25 s obje strane.

$$2x^{2}+2x=16-25$$

Oduzmite 25 od 16 da biste dobili -9.

$$2x^{2}+2x=-9$$

Podijelite obje strane s 2.

$$\frac{2x^{2}+2x}{2}=-\frac{9}{2}$$

Dijelјenje sa 2 poništava množenje sa 2.

$$x^{2}+\frac{2}{2}x=-\frac{9}{2}$$

Podijelite 2 sa 2.

$$x^{2}+x=-\frac{9}{2}$$

Podijelite 1, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili \frac{1}{2}. Zatim dodajte kvadrat od \frac{1}{2} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{9}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od \frac{1}{2} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{9}{2}+\frac{1}{4}$$

Saberite -\frac{9}{2} i \frac{1}{4} tako što ćete pronaći zajednički imenilac i sabrati brojioce. Zatim svedite razlomak na najniže termine ukoliko je moguće.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{17}{4}$$

Faktor x^{2}+x+\frac{1}{4}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{17}{4}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{17}{4}}$$

Pojednostavite.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{17}i}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{17}i}{2}$$

Oduzmite \frac{1}{2} s obje strane jednačine.

$$x=\frac{-1+\sqrt{17}i}{2} x=\frac{-\sqrt{17}i-1}{2}$$