Riješi (x-1)^2+(x+2)^2-(x-3)(x+3)=22

$$( x - 1 ) ^ { 2 } + ( x + 2 ) ^ { 2 } - ( x - 3 ) ( x + 3 ) = 22$$

Riješite za x

$$x=-4$$

$$x=2$$

Koraci koji koriste faktoring

Koristite binomnu teoremu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} da biste proširili \left(x-1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1+\left(x+2\right)^{2}-\left(x-3\right)\left(x+3\right)=22$$

Koristite binomnu teoremu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} da biste proširili \left(x+2\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1+x^{2}+4x+4-\left(x-3\right)\left(x+3\right)=22$$

Kombinirajte x^{2} i x^{2} da biste dobili 2x^{2}.

$$2x^{2}-2x+1+4x+4-\left(x-3\right)\left(x+3\right)=22$$

Kombinirajte -2x i 4x da biste dobili 2x.

$$2x^{2}+2x+1+4-\left(x-3\right)\left(x+3\right)=22$$

Saberite 1 i 4 da biste dobili 5.

$$2x^{2}+2x+5-\left(x-3\right)\left(x+3\right)=22$$

Razmotrite \left(x-3\right)\left(x+3\right). Množenje se može transformirati u razliku kvadrata pomoću pravila: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Izračunajte kvadrat od 3.

$$2x^{2}+2x+5-\left(x^{2}-9\right)=22$$

Da biste pronašli suprotnu vrijednost od x^{2}-9, pronađite suprotnu vrijednost svakog izraza.

$$2x^{2}+2x+5-x^{2}+9=22$$

Kombinirajte 2x^{2} i -x^{2} da biste dobili x^{2}.

$$x^{2}+2x+5+9=22$$

Saberite 5 i 9 da biste dobili 14.

$$x^{2}+2x+14=22$$

Oduzmite 22 s obje strane.

$$x^{2}+2x+14-22=0$$

Oduzmite 22 od 14 da biste dobili -8.

$$x^{2}+2x-8=0$$

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite x^{2}+2x-8 koristeći formulu x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=2 ab=-8$$

Pošto je ab negativno, a a b ima suprotan znak. Pošto je a+b pozitivno, pozitivan broj ima veću apsolutnu vrijednost od negativnog. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod -8.

$$-1,8 -2,4$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$-1+8=7 -2+4=2$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu 2.

$$a=-2 b=4$$

Ponovo napišite faktorisani izraz \left(x+a\right)\left(x+b\right) pomoću dobijenih korena.

$$\left(x-2\right)\left(x+4\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite x-2=0 i x+4=0.

$$x=2 x=-4$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Koristite binomnu teoremu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} da biste proširili \left(x-1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1+\left(x+2\right)^{2}-\left(x-3\right)\left(x+3\right)=22$$

Koristite binomnu teoremu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} da biste proširili \left(x+2\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1+x^{2}+4x+4-\left(x-3\right)\left(x+3\right)=22$$

Kombinirajte x^{2} i x^{2} da biste dobili 2x^{2}.

$$2x^{2}-2x+1+4x+4-\left(x-3\right)\left(x+3\right)=22$$

Kombinirajte -2x i 4x da biste dobili 2x.

$$2x^{2}+2x+1+4-\left(x-3\right)\left(x+3\right)=22$$

Saberite 1 i 4 da biste dobili 5.

$$2x^{2}+2x+5-\left(x-3\right)\left(x+3\right)=22$$

Razmotrite \left(x-3\right)\left(x+3\right). Množenje se može transformirati u razliku kvadrata pomoću pravila: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Izračunajte kvadrat od 3.

$$2x^{2}+2x+5-\left(x^{2}-9\right)=22$$

Da biste pronašli suprotnu vrijednost od x^{2}-9, pronađite suprotnu vrijednost svakog izraza.

$$2x^{2}+2x+5-x^{2}+9=22$$

Kombinirajte 2x^{2} i -x^{2} da biste dobili x^{2}.

$$x^{2}+2x+5+9=22$$

Saberite 5 i 9 da biste dobili 14.

$$x^{2}+2x+14=22$$

Oduzmite 22 s obje strane.

$$x^{2}+2x+14-22=0$$

Oduzmite 22 od 14 da biste dobili -8.

$$x^{2}+2x-8=0$$

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao x^{2}+ax+bx-8. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=2 ab=1\left(-8\right)=-8$$

Pošto je ab negativno, a a b ima suprotan znak. Pošto je a+b pozitivno, pozitivan broj ima veću apsolutnu vrijednost od negativnog. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod -8.

$$-1,8 -2,4$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$-1+8=7 -2+4=2$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu 2.

$$a=-2 b=4$$

Ponovo napišite x^{2}+2x-8 kao \left(x^{2}-2x\right)+\left(4x-8\right).

$$\left(x^{2}-2x\right)+\left(4x-8\right)$$

Isključite x u prvoj i 4 drugoj grupi.

$$x\left(x-2\right)+4\left(x-2\right)$$

Izdvojite obični izraz x-2 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(x-2\right)\left(x+4\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite x-2=0 i x+4=0.

$$x=2 x=-4$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Koristite binomnu teoremu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} da biste proširili \left(x-1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1+\left(x+2\right)^{2}-\left(x-3\right)\left(x+3\right)=22$$

Koristite binomnu teoremu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} da biste proširili \left(x+2\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1+x^{2}+4x+4-\left(x-3\right)\left(x+3\right)=22$$

Kombinirajte x^{2} i x^{2} da biste dobili 2x^{2}.

$$2x^{2}-2x+1+4x+4-\left(x-3\right)\left(x+3\right)=22$$

Kombinirajte -2x i 4x da biste dobili 2x.

$$2x^{2}+2x+1+4-\left(x-3\right)\left(x+3\right)=22$$

Saberite 1 i 4 da biste dobili 5.

$$2x^{2}+2x+5-\left(x-3\right)\left(x+3\right)=22$$

Razmotrite \left(x-3\right)\left(x+3\right). Množenje se može transformirati u razliku kvadrata pomoću pravila: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Izračunajte kvadrat od 3.

$$2x^{2}+2x+5-\left(x^{2}-9\right)=22$$

Da biste pronašli suprotnu vrijednost od x^{2}-9, pronađite suprotnu vrijednost svakog izraza.

$$2x^{2}+2x+5-x^{2}+9=22$$

Kombinirajte 2x^{2} i -x^{2} da biste dobili x^{2}.

$$x^{2}+2x+5+9=22$$

Saberite 5 i 9 da biste dobili 14.

$$x^{2}+2x+14=22$$

Oduzmite 22 s obje strane.

$$x^{2}+2x+14-22=0$$

Oduzmite 22 od 14 da biste dobili -8.

$$x^{2}+2x-8=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 1 i a, 2 i b, kao i -8 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-8\right)}}{2}$$

Izračunajte kvadrat od 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-8\right)}}{2}$$

Pomnožite -4 i -8.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+32}}{2}$$

Saberite 4 i 32.

$$x=\frac{-2±\sqrt{36}}{2}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 36.

$$x=\frac{-2±6}{2}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{-2±6}{2} kada je ± plus. Saberite -2 i 6.

$$x=\frac{4}{2}$$

Podijelite 4 sa 2.

$$x=2$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{-2±6}{2} kada je ± minus. Oduzmite 6 od -2.

$$x=-\frac{8}{2}$$

Podijelite -8 sa 2.

$$x=-4$$

Jednačina je riješena.

$$x=2 x=-4$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Koristite binomnu teoremu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} da biste proširili \left(x-1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1+\left(x+2\right)^{2}-\left(x-3\right)\left(x+3\right)=22$$

Koristite binomnu teoremu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} da biste proširili \left(x+2\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1+x^{2}+4x+4-\left(x-3\right)\left(x+3\right)=22$$

Kombinirajte x^{2} i x^{2} da biste dobili 2x^{2}.

$$2x^{2}-2x+1+4x+4-\left(x-3\right)\left(x+3\right)=22$$

Kombinirajte -2x i 4x da biste dobili 2x.

$$2x^{2}+2x+1+4-\left(x-3\right)\left(x+3\right)=22$$

Saberite 1 i 4 da biste dobili 5.

$$2x^{2}+2x+5-\left(x-3\right)\left(x+3\right)=22$$

Razmotrite \left(x-3\right)\left(x+3\right). Množenje se može transformirati u razliku kvadrata pomoću pravila: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Izračunajte kvadrat od 3.

$$2x^{2}+2x+5-\left(x^{2}-9\right)=22$$

Da biste pronašli suprotnu vrijednost od x^{2}-9, pronađite suprotnu vrijednost svakog izraza.

$$2x^{2}+2x+5-x^{2}+9=22$$

Kombinirajte 2x^{2} i -x^{2} da biste dobili x^{2}.

$$x^{2}+2x+5+9=22$$

Saberite 5 i 9 da biste dobili 14.

$$x^{2}+2x+14=22$$

Oduzmite 14 s obje strane.

$$x^{2}+2x=22-14$$

Oduzmite 14 od 22 da biste dobili 8.

$$x^{2}+2x=8$$

Podijelite 2, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili 1. Zatim dodajte kvadrat od 1 na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}+2x+1^{2}=8+1^{2}$$

Izračunajte kvadrat od 1.

$$x^{2}+2x+1=8+1$$

Saberite 8 i 1.

$$x^{2}+2x+1=9$$

Faktor x^{2}+2x+1. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}=9$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

Pojednostavite.

$$x+1=3 x+1=-3$$

Oduzmite 1 s obje strane jednačine.

$$x=2 x=-4$$