Riješi (5x-2)^2-(2x-1)(2x+1)=47+x

$$( 5 x - 2 ) ^ { 2 } - ( 2 x - 1 ) ( 2 x + 1 ) = 47 + x$$

Riješite za x

$$x=-1$$

$$x=2$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Koristite binomnu teoremu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} da biste proširili \left(5x-2\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)=47+x$$

Razmotrite \left(2x-1\right)\left(2x+1\right). Množenje se može transformirati u razliku kvadrata pomoću pravila: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Izračunajte kvadrat od 1.

$$25x^{2}-20x+4-\left(\left(2x\right)^{2}-1\right)=47+x$$

Proširite \left(2x\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2^{2}x^{2}-1\right)=47+x$$

Izračunajte 2 stepen od 2 i dobijte 4.

$$25x^{2}-20x+4-\left(4x^{2}-1\right)=47+x$$

Da biste pronašli suprotnu vrijednost od 4x^{2}-1, pronađite suprotnu vrijednost svakog izraza.

$$25x^{2}-20x+4-4x^{2}+1=47+x$$

Kombinirajte 25x^{2} i -4x^{2} da biste dobili 21x^{2}.

$$21x^{2}-20x+4+1=47+x$$

Saberite 4 i 1 da biste dobili 5.

$$21x^{2}-20x+5=47+x$$

Oduzmite 47 s obje strane.

$$21x^{2}-20x+5-47=x$$

Oduzmite 47 od 5 da biste dobili -42.

$$21x^{2}-20x-42=x$$

Oduzmite x s obje strane.

$$21x^{2}-20x-42-x=0$$

Kombinirajte -20x i -x da biste dobili -21x.

$$21x^{2}-21x-42=0$$

Podijelite obje strane s 21.

$$x^{2}-x-2=0$$

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao x^{2}+ax+bx-2. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=-1 ab=1\left(-2\right)=-2$$

Pošto je ab negativno, a a b ima suprotan znak. Pošto je a+b negativan, negativan broj ima veću apsolutnu vrijednost od pozitivnog. Jedini takav par je rješenje sistema.

$$a=-2 b=1$$

Ponovo napišite x^{2}-x-2 kao \left(x^{2}-2x\right)+\left(x-2\right).

$$\left(x^{2}-2x\right)+\left(x-2\right)$$

Izdvojite x iz x^{2}-2x.

$$x\left(x-2\right)+x-2$$

Izdvojite obični izraz x-2 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(x-2\right)\left(x+1\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite x-2=0 i x+1=0.

$$x=2 x=-1$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Koristite binomnu teoremu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} da biste proširili \left(5x-2\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)=47+x$$

Razmotrite \left(2x-1\right)\left(2x+1\right). Množenje se može transformirati u razliku kvadrata pomoću pravila: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Izračunajte kvadrat od 1.

$$25x^{2}-20x+4-\left(\left(2x\right)^{2}-1\right)=47+x$$

Proširite \left(2x\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2^{2}x^{2}-1\right)=47+x$$

Izračunajte 2 stepen od 2 i dobijte 4.

$$25x^{2}-20x+4-\left(4x^{2}-1\right)=47+x$$

Da biste pronašli suprotnu vrijednost od 4x^{2}-1, pronađite suprotnu vrijednost svakog izraza.

$$25x^{2}-20x+4-4x^{2}+1=47+x$$

Kombinirajte 25x^{2} i -4x^{2} da biste dobili 21x^{2}.

$$21x^{2}-20x+4+1=47+x$$

Saberite 4 i 1 da biste dobili 5.

$$21x^{2}-20x+5=47+x$$

Oduzmite 47 s obje strane.

$$21x^{2}-20x+5-47=x$$

Oduzmite 47 od 5 da biste dobili -42.

$$21x^{2}-20x-42=x$$

Oduzmite x s obje strane.

$$21x^{2}-20x-42-x=0$$

Kombinirajte -20x i -x da biste dobili -21x.

$$21x^{2}-21x-42=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 21 i a, -21 i b, kao i -42 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{\left(-21\right)^{2}-4\times 21\left(-42\right)}}{2\times 21}$$

Izračunajte kvadrat od -21.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-4\times 21\left(-42\right)}}{2\times 21}$$

Pomnožite -4 i 21.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-84\left(-42\right)}}{2\times 21}$$

Pomnožite -84 i -42.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441+3528}}{2\times 21}$$

Saberite 441 i 3528.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{3969}}{2\times 21}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 3969.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±63}{2\times 21}$$

Opozit broja -21 je 21.

$$x=\frac{21±63}{2\times 21}$$

Pomnožite 2 i 21.

$$x=\frac{21±63}{42}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{21±63}{42} kada je ± plus. Saberite 21 i 63.

$$x=\frac{84}{42}$$

Podijelite 84 sa 42.

$$x=2$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{21±63}{42} kada je ± minus. Oduzmite 63 od 21.

$$x=-\frac{42}{42}$$

Podijelite -42 sa 42.

$$x=-1$$

Jednačina je riješena.

$$x=2 x=-1$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Koristite binomnu teoremu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} da biste proširili \left(5x-2\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)=47+x$$

Razmotrite \left(2x-1\right)\left(2x+1\right). Množenje se može transformirati u razliku kvadrata pomoću pravila: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Izračunajte kvadrat od 1.

$$25x^{2}-20x+4-\left(\left(2x\right)^{2}-1\right)=47+x$$

Proširite \left(2x\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2^{2}x^{2}-1\right)=47+x$$

Izračunajte 2 stepen od 2 i dobijte 4.

$$25x^{2}-20x+4-\left(4x^{2}-1\right)=47+x$$

Da biste pronašli suprotnu vrijednost od 4x^{2}-1, pronađite suprotnu vrijednost svakog izraza.

$$25x^{2}-20x+4-4x^{2}+1=47+x$$

Kombinirajte 25x^{2} i -4x^{2} da biste dobili 21x^{2}.

$$21x^{2}-20x+4+1=47+x$$

Saberite 4 i 1 da biste dobili 5.

$$21x^{2}-20x+5=47+x$$

Oduzmite x s obje strane.

$$21x^{2}-20x+5-x=47$$

Kombinirajte -20x i -x da biste dobili -21x.

$$21x^{2}-21x+5=47$$

Oduzmite 5 s obje strane.

$$21x^{2}-21x=47-5$$

Oduzmite 5 od 47 da biste dobili 42.

$$21x^{2}-21x=42$$

Podijelite obje strane s 21.

$$\frac{21x^{2}-21x}{21}=\frac{42}{21}$$

Dijelјenje sa 21 poništava množenje sa 21.

$$x^{2}+\left(-\frac{21}{21}\right)x=\frac{42}{21}$$

Podijelite -21 sa 21.

$$x^{2}-x=\frac{42}{21}$$

Podijelite 42 sa 21.

$$x^{2}-x=2$$

Podijelite -1, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili -\frac{1}{2}. Zatim dodajte kvadrat od -\frac{1}{2} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=2+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od -\frac{1}{2} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=2+\frac{1}{4}$$

Saberite 2 i \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$$

Faktor x^{2}-x+\frac{1}{4}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Pojednostavite.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{3}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}$$

Dodajte \frac{1}{2} na obje strane jednačine.

$$x=2 x=-1$$