Riješi (4x-1)^2=225

$$( 4 x - 1 ) ^ { 2 } = 225$$

Riješite za x

$$x=4$$

$$x = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3,5$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Koristite binomnu teoremu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} da biste proširili \left(4x-1\right)^{2}.

$$16x^{2}-8x+1=225$$

Oduzmite 225 s obje strane.

$$16x^{2}-8x+1-225=0$$

Oduzmite 225 od 1 da biste dobili -224.

$$16x^{2}-8x-224=0$$

Podijelite obje strane s 8.

$$2x^{2}-x-28=0$$

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao 2x^{2}+ax+bx-28. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=-1 ab=2\left(-28\right)=-56$$

Pošto je ab negativno, a a b ima suprotan znak. Pošto je a+b negativan, negativan broj ima veću apsolutnu vrijednost od pozitivnog. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod -56.

$$1,-56 2,-28 4,-14 7,-8$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$1-56=-55 2-28=-26 4-14=-10 7-8=-1$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu -1.

$$a=-8 b=7$$

Ponovo napišite 2x^{2}-x-28 kao \left(2x^{2}-8x\right)+\left(7x-28\right).

$$\left(2x^{2}-8x\right)+\left(7x-28\right)$$

Isključite 2x u prvoj i 7 drugoj grupi.

$$2x\left(x-4\right)+7\left(x-4\right)$$

Izdvojite obični izraz x-4 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(x-4\right)\left(2x+7\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite x-4=0 i 2x+7=0.

$$x=4 x=-\frac{7}{2}$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Koristite binomnu teoremu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} da biste proširili \left(4x-1\right)^{2}.

$$16x^{2}-8x+1=225$$

Oduzmite 225 s obje strane.

$$16x^{2}-8x+1-225=0$$

Oduzmite 225 od 1 da biste dobili -224.

$$16x^{2}-8x-224=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 16 i a, -8 i b, kao i -224 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 16\left(-224\right)}}{2\times 16}$$

Izračunajte kvadrat od -8.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 16\left(-224\right)}}{2\times 16}$$

Pomnožite -4 i 16.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-64\left(-224\right)}}{2\times 16}$$

Pomnožite -64 i -224.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+14336}}{2\times 16}$$

Saberite 64 i 14336.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{14400}}{2\times 16}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 14400.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±120}{2\times 16}$$

Opozit broja -8 je 8.

$$x=\frac{8±120}{2\times 16}$$

Pomnožite 2 i 16.

$$x=\frac{8±120}{32}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{8±120}{32} kada je ± plus. Saberite 8 i 120.

$$x=\frac{128}{32}$$

Podijelite 128 sa 32.

$$x=4$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{8±120}{32} kada je ± minus. Oduzmite 120 od 8.

$$x=-\frac{112}{32}$$

Svedite razlomak \frac{-112}{32} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 16.

$$x=-\frac{7}{2}$$

Jednačina je riješena.

$$x=4 x=-\frac{7}{2}$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Koristite binomnu teoremu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} da biste proširili \left(4x-1\right)^{2}.

$$16x^{2}-8x+1=225$$

Oduzmite 1 s obje strane.

$$16x^{2}-8x=225-1$$

Oduzmite 1 od 225 da biste dobili 224.

$$16x^{2}-8x=224$$

Podijelite obje strane s 16.

$$\frac{16x^{2}-8x}{16}=\frac{224}{16}$$

Dijelјenje sa 16 poništava množenje sa 16.

$$x^{2}+\left(-\frac{8}{16}\right)x=\frac{224}{16}$$

Svedite razlomak \frac{-8}{16} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 8.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{224}{16}$$

Podijelite 224 sa 16.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=14$$

Podijelite -\frac{1}{2}, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili -\frac{1}{4}. Zatim dodajte kvadrat od -\frac{1}{4} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=14+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od -\frac{1}{4} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=14+\frac{1}{16}$$

Saberite 14 i \frac{1}{16}.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{225}{16}$$

Faktor x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{225}{16}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{16}}$$

Pojednostavite.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{15}{4} x-\frac{1}{4}=-\frac{15}{4}$$

Dodajte \frac{1}{4} na obje strane jednačine.

$$x=4 x=-\frac{7}{2}$$