Riješi (3p+3)^2-1(3p+3)-20=0

$$( 3 p + 3 ) ^ { 2 } - 1 ( 3 p + 3 ) - 20 = 0$$

Riješite za p

$$p = -\frac{7}{3} = -2\frac{1}{3} \approx -2,333333333$$

$$p=\frac{2}{3}\approx 0,666666667$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Koristite binomnu teoremu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} da biste proširili \left(3p+3\right)^{2}.

$$9p^{2}+18p+9-\left(3p+3\right)-20=0$$

Da biste pronašli suprotnu vrijednost od 3p+3, pronađite suprotnu vrijednost svakog izraza.

$$9p^{2}+18p+9-3p-3-20=0$$

Kombinirajte 18p i -3p da biste dobili 15p.

$$9p^{2}+15p+9-3-20=0$$

Oduzmite 3 od 9 da biste dobili 6.

$$9p^{2}+15p+6-20=0$$

Oduzmite 20 od 6 da biste dobili -14.

$$9p^{2}+15p-14=0$$

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao 9p^{2}+ap+bp-14. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=15 ab=9\left(-14\right)=-126$$

Pošto je ab negativno, a a b ima suprotan znak. Pošto je a+b pozitivno, pozitivan broj ima veću apsolutnu vrijednost od negativnog. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod -126.

$$-1,126 -2,63 -3,42 -6,21 -7,18 -9,14$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$-1+126=125 -2+63=61 -3+42=39 -6+21=15 -7+18=11 -9+14=5$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu 15.

$$a=-6 b=21$$

Ponovo napišite 9p^{2}+15p-14 kao \left(9p^{2}-6p\right)+\left(21p-14\right).

$$\left(9p^{2}-6p\right)+\left(21p-14\right)$$

Isključite 3p u prvoj i 7 drugoj grupi.

$$3p\left(3p-2\right)+7\left(3p-2\right)$$

Izdvojite obični izraz 3p-2 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(3p-2\right)\left(3p+7\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite 3p-2=0 i 3p+7=0.

$$p=\frac{2}{3} p=-\frac{7}{3}$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Koristite binomnu teoremu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} da biste proširili \left(3p+3\right)^{2}.

$$9p^{2}+18p+9-\left(3p+3\right)-20=0$$

Da biste pronašli suprotnu vrijednost od 3p+3, pronađite suprotnu vrijednost svakog izraza.

$$9p^{2}+18p+9-3p-3-20=0$$

Kombinirajte 18p i -3p da biste dobili 15p.

$$9p^{2}+15p+9-3-20=0$$

Oduzmite 3 od 9 da biste dobili 6.

$$9p^{2}+15p+6-20=0$$

Oduzmite 20 od 6 da biste dobili -14.

$$9p^{2}+15p-14=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 9 i a, 15 i b, kao i -14 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$p=\frac{-15±\sqrt{15^{2}-4\times 9\left(-14\right)}}{2\times 9}$$

Izračunajte kvadrat od 15.

$$p=\frac{-15±\sqrt{225-4\times 9\left(-14\right)}}{2\times 9}$$

Pomnožite -4 i 9.

$$p=\frac{-15±\sqrt{225-36\left(-14\right)}}{2\times 9}$$

Pomnožite -36 i -14.

$$p=\frac{-15±\sqrt{225+504}}{2\times 9}$$

Saberite 225 i 504.

$$p=\frac{-15±\sqrt{729}}{2\times 9}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 729.

$$p=\frac{-15±27}{2\times 9}$$

Pomnožite 2 i 9.

$$p=\frac{-15±27}{18}$$

Sada riješite jednačinu p=\frac{-15±27}{18} kada je ± plus. Saberite -15 i 27.

$$p=\frac{12}{18}$$

Svedite razlomak \frac{12}{18} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 6.

$$p=\frac{2}{3}$$

Sada riješite jednačinu p=\frac{-15±27}{18} kada je ± minus. Oduzmite 27 od -15.

$$p=-\frac{42}{18}$$

Svedite razlomak \frac{-42}{18} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 6.

$$p=-\frac{7}{3}$$

Jednačina je riješena.

$$p=\frac{2}{3} p=-\frac{7}{3}$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Koristite binomnu teoremu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} da biste proširili \left(3p+3\right)^{2}.

$$9p^{2}+18p+9-\left(3p+3\right)-20=0$$

Da biste pronašli suprotnu vrijednost od 3p+3, pronađite suprotnu vrijednost svakog izraza.

$$9p^{2}+18p+9-3p-3-20=0$$

Kombinirajte 18p i -3p da biste dobili 15p.

$$9p^{2}+15p+9-3-20=0$$

Oduzmite 3 od 9 da biste dobili 6.

$$9p^{2}+15p+6-20=0$$

Oduzmite 20 od 6 da biste dobili -14.

$$9p^{2}+15p-14=0$$

Dodajte 14 na obje strane. Bilo šta plus nula daje sebe.

$$9p^{2}+15p=14$$

Podijelite obje strane s 9.

$$\frac{9p^{2}+15p}{9}=\frac{14}{9}$$

Dijelјenje sa 9 poništava množenje sa 9.

$$p^{2}+\frac{15}{9}p=\frac{14}{9}$$

Svedite razlomak \frac{15}{9} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 3.

$$p^{2}+\frac{5}{3}p=\frac{14}{9}$$

Podijelite \frac{5}{3}, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili \frac{5}{6}. Zatim dodajte kvadrat od \frac{5}{6} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$p^{2}+\frac{5}{3}p+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{14}{9}+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od \frac{5}{6} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$p^{2}+\frac{5}{3}p+\frac{25}{36}=\frac{14}{9}+\frac{25}{36}$$

Saberite \frac{14}{9} i \frac{25}{36} tako što ćete pronaći zajednički imenilac i sabrati brojioce. Zatim svedite razlomak na najniže termine ukoliko je moguće.

$$p^{2}+\frac{5}{3}p+\frac{25}{36}=\frac{9}{4}$$

Faktor p^{2}+\frac{5}{3}p+\frac{25}{36}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(p+\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(p+\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Pojednostavite.

$$p+\frac{5}{6}=\frac{3}{2} p+\frac{5}{6}=-\frac{3}{2}$$

Oduzmite \frac{5}{6} s obje strane jednačine.

$$p=\frac{2}{3} p=-\frac{7}{3}$$