Riješi (2x-3)^2-(x-5)^2=-23

$$( 2 x - 3 ) ^ { 2 } - ( x - 5 ) ^ { 2 } = - 23$$

Riješite za x (complex solution)

$$x=\frac{1+2\sqrt{5}i}{3}\approx 0,333333333+1,490711985i$$

$$x=\frac{-2\sqrt{5}i+1}{3}\approx 0,333333333-1,490711985i$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Koristite binomnu teoremu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} da biste proširili \left(2x-3\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x-5\right)^{2}=-23$$

Koristite binomnu teoremu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} da biste proširili \left(x-5\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x^{2}-10x+25\right)=-23$$

Da biste pronašli suprotnu vrijednost od x^{2}-10x+25, pronađite suprotnu vrijednost svakog izraza.

$$4x^{2}-12x+9-x^{2}+10x-25=-23$$

Kombinirajte 4x^{2} i -x^{2} da biste dobili 3x^{2}.

$$3x^{2}-12x+9+10x-25=-23$$

Kombinirajte -12x i 10x da biste dobili -2x.

$$3x^{2}-2x+9-25=-23$$

Oduzmite 25 od 9 da biste dobili -16.

$$3x^{2}-2x-16=-23$$

Dodajte 23 na obje strane.

$$3x^{2}-2x-16+23=0$$

Saberite -16 i 23 da biste dobili 7.

$$3x^{2}-2x+7=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 3 i a, -2 i b, kao i 7 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 3\times 7}}{2\times 3}$$

Izračunajte kvadrat od -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 3\times 7}}{2\times 3}$$

Pomnožite -4 i 3.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-12\times 7}}{2\times 3}$$

Pomnožite -12 i 7.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-84}}{2\times 3}$$

Saberite 4 i -84.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-80}}{2\times 3}$$

Izračunajte kvadratni korijen od -80.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±4\sqrt{5}i}{2\times 3}$$

Opozit broja -2 je 2.

$$x=\frac{2±4\sqrt{5}i}{2\times 3}$$

Pomnožite 2 i 3.

$$x=\frac{2±4\sqrt{5}i}{6}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{2±4\sqrt{5}i}{6} kada je ± plus. Saberite 2 i 4i\sqrt{5}.

$$x=\frac{2+4\sqrt{5}i}{6}$$

Podijelite 2+4i\sqrt{5} sa 6.

$$x=\frac{1+2\sqrt{5}i}{3}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{2±4\sqrt{5}i}{6} kada je ± minus. Oduzmite 4i\sqrt{5} od 2.

$$x=\frac{-4\sqrt{5}i+2}{6}$$

Podijelite 2-4i\sqrt{5} sa 6.

$$x=\frac{-2\sqrt{5}i+1}{3}$$

Jednačina je riješena.

$$x=\frac{1+2\sqrt{5}i}{3} x=\frac{-2\sqrt{5}i+1}{3}$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Koristite binomnu teoremu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} da biste proširili \left(2x-3\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x-5\right)^{2}=-23$$

Koristite binomnu teoremu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} da biste proširili \left(x-5\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x^{2}-10x+25\right)=-23$$

Da biste pronašli suprotnu vrijednost od x^{2}-10x+25, pronađite suprotnu vrijednost svakog izraza.

$$4x^{2}-12x+9-x^{2}+10x-25=-23$$

Kombinirajte 4x^{2} i -x^{2} da biste dobili 3x^{2}.

$$3x^{2}-12x+9+10x-25=-23$$

Kombinirajte -12x i 10x da biste dobili -2x.

$$3x^{2}-2x+9-25=-23$$

Oduzmite 25 od 9 da biste dobili -16.

$$3x^{2}-2x-16=-23$$

Dodajte 16 na obje strane.

$$3x^{2}-2x=-23+16$$

Saberite -23 i 16 da biste dobili -7.

$$3x^{2}-2x=-7$$

Podijelite obje strane s 3.

$$\frac{3x^{2}-2x}{3}=-\frac{7}{3}$$

Dijelјenje sa 3 poništava množenje sa 3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=-\frac{7}{3}$$

Podijelite -\frac{2}{3}, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili -\frac{1}{3}. Zatim dodajte kvadrat od -\frac{1}{3} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{7}{3}+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od -\frac{1}{3} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{7}{3}+\frac{1}{9}$$

Saberite -\frac{7}{3} i \frac{1}{9} tako što ćete pronaći zajednički imenilac i sabrati brojioce. Zatim svedite razlomak na najniže termine ukoliko je moguće.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{20}{9}$$

Faktor x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{20}{9}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{20}{9}}$$

Pojednostavite.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{2\sqrt{5}i}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{2\sqrt{5}i}{3}$$

Dodajte \frac{1}{3} na obje strane jednačine.

$$x=\frac{1+2\sqrt{5}i}{3} x=\frac{-2\sqrt{5}i+1}{3}$$