Riješi (2x-1)^2=121

$$( 2 x - 1 ) ^ { 2 } = 121$$

Riješite za x

$$x=6$$

$$x=-5$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Koristite binomnu teoremu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} da biste proširili \left(2x-1\right)^{2}.

$$4x^{2}-4x+1=121$$

Oduzmite 121 s obje strane.

$$4x^{2}-4x+1-121=0$$

Oduzmite 121 od 1 da biste dobili -120.

$$4x^{2}-4x-120=0$$

Podijelite obje strane s 4.

$$x^{2}-x-30=0$$

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao x^{2}+ax+bx-30. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=-1 ab=1\left(-30\right)=-30$$

Pošto je ab negativno, a a b ima suprotan znak. Pošto je a+b negativan, negativan broj ima veću apsolutnu vrijednost od pozitivnog. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod -30.

$$1,-30 2,-15 3,-10 5,-6$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$1-30=-29 2-15=-13 3-10=-7 5-6=-1$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu -1.

$$a=-6 b=5$$

Ponovo napišite x^{2}-x-30 kao \left(x^{2}-6x\right)+\left(5x-30\right).

$$\left(x^{2}-6x\right)+\left(5x-30\right)$$

Isključite x u prvoj i 5 drugoj grupi.

$$x\left(x-6\right)+5\left(x-6\right)$$

Izdvojite obični izraz x-6 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(x-6\right)\left(x+5\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite x-6=0 i x+5=0.

$$x=6 x=-5$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Koristite binomnu teoremu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} da biste proširili \left(2x-1\right)^{2}.

$$4x^{2}-4x+1=121$$

Oduzmite 121 s obje strane.

$$4x^{2}-4x+1-121=0$$

Oduzmite 121 od 1 da biste dobili -120.

$$4x^{2}-4x-120=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 4 i a, -4 i b, kao i -120 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4\left(-120\right)}}{2\times 4}$$

Izračunajte kvadrat od -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 4\left(-120\right)}}{2\times 4}$$

Pomnožite -4 i 4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-16\left(-120\right)}}{2\times 4}$$

Pomnožite -16 i -120.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+1920}}{2\times 4}$$

Saberite 16 i 1920.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{1936}}{2\times 4}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 1936.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±44}{2\times 4}$$

Opozit broja -4 je 4.

$$x=\frac{4±44}{2\times 4}$$

Pomnožite 2 i 4.

$$x=\frac{4±44}{8}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{4±44}{8} kada je ± plus. Saberite 4 i 44.

$$x=\frac{48}{8}$$

Podijelite 48 sa 8.

$$x=6$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{4±44}{8} kada je ± minus. Oduzmite 44 od 4.

$$x=-\frac{40}{8}$$

Podijelite -40 sa 8.

$$x=-5$$

Jednačina je riješena.

$$x=6 x=-5$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Koristite binomnu teoremu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} da biste proširili \left(2x-1\right)^{2}.

$$4x^{2}-4x+1=121$$

Oduzmite 1 s obje strane.

$$4x^{2}-4x=121-1$$

Oduzmite 1 od 121 da biste dobili 120.

$$4x^{2}-4x=120$$

Podijelite obje strane s 4.

$$\frac{4x^{2}-4x}{4}=\frac{120}{4}$$

Dijelјenje sa 4 poništava množenje sa 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{4}\right)x=\frac{120}{4}$$

Podijelite -4 sa 4.

$$x^{2}-x=\frac{120}{4}$$

Podijelite 120 sa 4.

$$x^{2}-x=30$$

Podijelite -1, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili -\frac{1}{2}. Zatim dodajte kvadrat od -\frac{1}{2} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=30+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od -\frac{1}{2} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=30+\frac{1}{4}$$

Saberite 30 i \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{121}{4}$$

Faktor x^{2}-x+\frac{1}{4}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Pojednostavite.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{11}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{11}{2}$$

Dodajte \frac{1}{2} na obje strane jednačine.

$$x=6 x=-5$$