Riješi (2x+4)^2-5x(7-3x)(7+3x)-(3x-2)^2-40x^2=-205

$$( 2 x + 4 ) ^ { 2 } - 5 x ( 7 - 3 x ) ( 7 + 3 x ) - ( 3 x - 2 ) ^ { 2 } - 40 x ^ { 2 } = - 205$$

Riješite za x

$$x = \frac{\sqrt{1085}}{15} \approx 2,195955879$$

$$x = -\frac{\sqrt{1085}}{15} \approx -2,195955879$$

$$x=1$$

Koraci za rješenje

Koristite binomnu teoremu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} da biste proširili \left(2x+4\right)^{2}.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-\left(3x-2\right)^{2}-40x^{2}=-205$$

Koristite binomnu teoremu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} da biste proširili \left(3x-2\right)^{2}.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-\left(9x^{2}-12x+4\right)-40x^{2}=-205$$

Da biste pronašli suprotnu vrijednost od 9x^{2}-12x+4, pronađite suprotnu vrijednost svakog izraza.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-9x^{2}+12x-4-40x^{2}=-205$$

Kombinirajte -9x^{2} i -40x^{2} da biste dobili -49x^{2}.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-49x^{2}+12x-4=-205$$

Dodajte 205 na obje strane.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-49x^{2}+12x-4+205=0$$

Saberite -4 i 205 da biste dobili 201.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-49x^{2}+12x+201=0$$

Koristite distributivno svojstvo da biste pomnožili -5x sa 7-3x.

$$4x^{2}+16x+16+\left(-35x+15x^{2}\right)\left(7+3x\right)-49x^{2}+12x+201=0$$

Koristite svojstvo distributivnosti da biste pomnožili -35x+15x^{2} s 7+3x i kombinirali slične pojmove.

$$4x^{2}+16x+16-245x+45x^{3}-49x^{2}+12x+201=0$$

Kombinirajte 16x i -245x da biste dobili -229x.

$$4x^{2}-229x+16+45x^{3}-49x^{2}+12x+201=0$$

Kombinirajte 4x^{2} i -49x^{2} da biste dobili -45x^{2}.

$$-45x^{2}-229x+16+45x^{3}+12x+201=0$$

Kombinirajte -229x i 12x da biste dobili -217x.

$$-45x^{2}-217x+16+45x^{3}+201=0$$

Saberite 16 i 201 da biste dobili 217.

$$-45x^{2}-217x+217+45x^{3}=0$$

Prerasporedite jednačinu da biste je stavili u standardni oblik. Poredajte termine redoslijedom od najvišeg do najnižeg stepena.

$$45x^{3}-45x^{2}-217x+217=0$$

Prema teoremi racionalnih korijena, svi racionalni korijeni polinoma su u obliku \frac{p}{q}, gdje p dijeli termin konstante 217 i q dijeli uvodni koeficijent 45. Navedite sve kandidate \frac{p}{q}.

$$±\frac{217}{45},±\frac{217}{15},±\frac{217}{9},±\frac{217}{5},±\frac{217}{3},±217,±\frac{31}{45},±\frac{31}{15},±\frac{31}{9},±\frac{31}{5},±\frac{31}{3},±31,±\frac{7}{45},±\frac{7}{15},±\frac{7}{9},±\frac{7}{5},±\frac{7}{3},±7,±\frac{1}{45},±\frac{1}{15},±\frac{1}{9},±\frac{1}{5},±\frac{1}{3},±1$$

Pronađite jedan takav korijen tako što ćete isprobati sve vrijednosti cijelih brojeva, počevši od najmanje po apsolutnoj vrijednosti. Ako se ne pronađe nijedan korijen cijelog broja, isprobajte razlomke.

$$x=1$$

Prema teoremi faktora, x-k je faktor polinoma za svaki korijen k. Podijelite 45x^{3}-45x^{2}-217x+217 sa x-1 da biste dobili 45x^{2}-217. Riješite jednačinu gde rezultat iznosi 0.

$$45x^{2}-217=0$$

Sve nejednakosti izraza ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti korištenjem kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Zamijenite 45 sa a, 0 sa b i -217 sa c u kvadratnoj formuli.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 45\left(-217\right)}}{2\times 45}$$

Izvršite računanje.

$$x=\frac{0±6\sqrt{1085}}{90}$$

Riješite jednačinu 45x^{2}-217=0 kad je ± pozitivno i kad je ± negativno.

$$x=-\frac{\sqrt{1085}}{15} x=\frac{\sqrt{1085}}{15}$$

Navedi sva pronađena rješenja.

$$x=1 x=-\frac{\sqrt{1085}}{15} x=\frac{\sqrt{1085}}{15}$$