Riješi (2x+3)(x^2-16)+(x-4)(x+40)=2(x-4)(x^2-16)

$$( 2 x + 3 ) ( x ^ { 2 } - 16 ) + ( x - 4 ) ( x + 40 ) = 2 ( x - 4 ) ( x ^ { 2 } - 16 )$$

Riješite za x

$$x=-7$$

$$x=4$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Koristite distributivno svojstvo da biste pomnožili 2x+3 sa x^{2}-16.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+\left(x-4\right)\left(x+40\right)=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Koristite svojstvo distributivnosti da biste pomnožili x-4 s x+40 i kombinirali slične pojmove.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+x^{2}+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Kombinirajte 3x^{2} i x^{2} da biste dobili 4x^{2}.

$$2x^{3}-32x+4x^{2}-48+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Kombinirajte -32x i 36x da biste dobili 4x.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-48-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Oduzmite 160 od -48 da biste dobili -208.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Koristite distributivno svojstvo da biste pomnožili 2 sa x-4.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=\left(2x-8\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Koristite distributivno svojstvo da biste pomnožili 2x-8 sa x^{2}-16.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2x^{3}-32x-8x^{2}+128$$

Oduzmite 2x^{3} s obje strane.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208-2x^{3}=-32x-8x^{2}+128$$

Kombinirajte 2x^{3} i -2x^{3} da biste dobili 0.

$$4x+4x^{2}-208=-32x-8x^{2}+128$$

Dodajte 32x na obje strane.

$$4x+4x^{2}-208+32x=-8x^{2}+128$$

Kombinirajte 4x i 32x da biste dobili 36x.

$$36x+4x^{2}-208=-8x^{2}+128$$

Dodajte 8x^{2} na obje strane.

$$36x+4x^{2}-208+8x^{2}=128$$

Kombinirajte 4x^{2} i 8x^{2} da biste dobili 12x^{2}.

$$36x+12x^{2}-208=128$$

Oduzmite 128 s obje strane.

$$36x+12x^{2}-208-128=0$$

Oduzmite 128 od -208 da biste dobili -336.

$$36x+12x^{2}-336=0$$

Podijelite obje strane s 12.

$$3x+x^{2}-28=0$$

Prerasporedite jednačinu da biste je stavili u standardni oblik. Postavite termine redoslijedom od najvišeg do najnižeg stepena.

$$x^{2}+3x-28=0$$

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao x^{2}+ax+bx-28. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=3 ab=1\left(-28\right)=-28$$

Pošto je ab negativno, a a b ima suprotan znak. Pošto je a+b pozitivno, pozitivan broj ima veću apsolutnu vrijednost od negativnog. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod -28.

$$-1,28 -2,14 -4,7$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$-1+28=27 -2+14=12 -4+7=3$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu 3.

$$a=-4 b=7$$

Ponovo napišite x^{2}+3x-28 kao \left(x^{2}-4x\right)+\left(7x-28\right).

$$\left(x^{2}-4x\right)+\left(7x-28\right)$$

Isključite x u prvoj i 7 drugoj grupi.

$$x\left(x-4\right)+7\left(x-4\right)$$

Izdvojite obični izraz x-4 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(x-4\right)\left(x+7\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite x-4=0 i x+7=0.

$$x=4 x=-7$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Koristite distributivno svojstvo da biste pomnožili 2x+3 sa x^{2}-16.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+\left(x-4\right)\left(x+40\right)=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Koristite svojstvo distributivnosti da biste pomnožili x-4 s x+40 i kombinirali slične pojmove.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+x^{2}+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Kombinirajte 3x^{2} i x^{2} da biste dobili 4x^{2}.

$$2x^{3}-32x+4x^{2}-48+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Kombinirajte -32x i 36x da biste dobili 4x.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-48-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Oduzmite 160 od -48 da biste dobili -208.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Koristite distributivno svojstvo da biste pomnožili 2 sa x-4.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=\left(2x-8\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Koristite distributivno svojstvo da biste pomnožili 2x-8 sa x^{2}-16.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2x^{3}-32x-8x^{2}+128$$

Oduzmite 2x^{3} s obje strane.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208-2x^{3}=-32x-8x^{2}+128$$

Kombinirajte 2x^{3} i -2x^{3} da biste dobili 0.

$$4x+4x^{2}-208=-32x-8x^{2}+128$$

Dodajte 32x na obje strane.

$$4x+4x^{2}-208+32x=-8x^{2}+128$$

Kombinirajte 4x i 32x da biste dobili 36x.

$$36x+4x^{2}-208=-8x^{2}+128$$

Dodajte 8x^{2} na obje strane.

$$36x+4x^{2}-208+8x^{2}=128$$

Kombinirajte 4x^{2} i 8x^{2} da biste dobili 12x^{2}.

$$36x+12x^{2}-208=128$$

Oduzmite 128 s obje strane.

$$36x+12x^{2}-208-128=0$$

Oduzmite 128 od -208 da biste dobili -336.

$$36x+12x^{2}-336=0$$

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$12x^{2}+36x-336=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 12 i a, 36 i b, kao i -336 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-36±\sqrt{36^{2}-4\times 12\left(-336\right)}}{2\times 12}$$

Izračunajte kvadrat od 36.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296-4\times 12\left(-336\right)}}{2\times 12}$$

Pomnožite -4 i 12.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296-48\left(-336\right)}}{2\times 12}$$

Pomnožite -48 i -336.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296+16128}}{2\times 12}$$

Saberite 1296 i 16128.

$$x=\frac{-36±\sqrt{17424}}{2\times 12}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 17424.

$$x=\frac{-36±132}{2\times 12}$$

Pomnožite 2 i 12.

$$x=\frac{-36±132}{24}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{-36±132}{24} kada je ± plus. Saberite -36 i 132.

$$x=\frac{96}{24}$$

Podijelite 96 sa 24.

$$x=4$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{-36±132}{24} kada je ± minus. Oduzmite 132 od -36.

$$x=-\frac{168}{24}$$

Podijelite -168 sa 24.

$$x=-7$$

Jednačina je riješena.

$$x=4 x=-7$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Koristite distributivno svojstvo da biste pomnožili 2x+3 sa x^{2}-16.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+\left(x-4\right)\left(x+40\right)=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Koristite svojstvo distributivnosti da biste pomnožili x-4 s x+40 i kombinirali slične pojmove.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+x^{2}+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Kombinirajte 3x^{2} i x^{2} da biste dobili 4x^{2}.

$$2x^{3}-32x+4x^{2}-48+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Kombinirajte -32x i 36x da biste dobili 4x.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-48-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Oduzmite 160 od -48 da biste dobili -208.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Koristite distributivno svojstvo da biste pomnožili 2 sa x-4.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=\left(2x-8\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Koristite distributivno svojstvo da biste pomnožili 2x-8 sa x^{2}-16.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2x^{3}-32x-8x^{2}+128$$

Oduzmite 2x^{3} s obje strane.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208-2x^{3}=-32x-8x^{2}+128$$

Kombinirajte 2x^{3} i -2x^{3} da biste dobili 0.

$$4x+4x^{2}-208=-32x-8x^{2}+128$$

Dodajte 32x na obje strane.

$$4x+4x^{2}-208+32x=-8x^{2}+128$$

Kombinirajte 4x i 32x da biste dobili 36x.

$$36x+4x^{2}-208=-8x^{2}+128$$

Dodajte 8x^{2} na obje strane.

$$36x+4x^{2}-208+8x^{2}=128$$

Kombinirajte 4x^{2} i 8x^{2} da biste dobili 12x^{2}.

$$36x+12x^{2}-208=128$$

Dodajte 208 na obje strane.

$$36x+12x^{2}=128+208$$

Saberite 128 i 208 da biste dobili 336.

$$36x+12x^{2}=336$$

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}+36x=336$$

Podijelite obje strane s 12.

$$\frac{12x^{2}+36x}{12}=\frac{336}{12}$$

Dijelјenje sa 12 poništava množenje sa 12.

$$x^{2}+\frac{36}{12}x=\frac{336}{12}$$

Podijelite 36 sa 12.

$$x^{2}+3x=\frac{336}{12}$$

Podijelite 336 sa 12.

$$x^{2}+3x=28$$

Podijelite 3, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili \frac{3}{2}. Zatim dodajte kvadrat od \frac{3}{2} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=28+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od \frac{3}{2} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=28+\frac{9}{4}$$

Saberite 28 i \frac{9}{4}.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{121}{4}$$

Faktor x^{2}+3x+\frac{9}{4}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Pojednostavite.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{11}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{11}{2}$$

Oduzmite \frac{3}{2} s obje strane jednačine.

$$x=4 x=-7$$