Riješi (2x+1)^2=(x-5)^2

$$( 2 x + 1 ) ^ { 2 } = ( x - 5 ) ^ { 2 }$$

Riješite za x

$$x=-6$$

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1,333333333$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Koristite binomnu teoremu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} da biste proširili \left(2x+1\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1=\left(x-5\right)^{2}$$

Koristite binomnu teoremu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} da biste proširili \left(x-5\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1=x^{2}-10x+25$$

Oduzmite x^{2} s obje strane.

$$4x^{2}+4x+1-x^{2}=-10x+25$$

Kombinirajte 4x^{2} i -x^{2} da biste dobili 3x^{2}.

$$3x^{2}+4x+1=-10x+25$$

Dodajte 10x na obje strane.

$$3x^{2}+4x+1+10x=25$$

Kombinirajte 4x i 10x da biste dobili 14x.

$$3x^{2}+14x+1=25$$

Oduzmite 25 s obje strane.

$$3x^{2}+14x+1-25=0$$

Oduzmite 25 od 1 da biste dobili -24.

$$3x^{2}+14x-24=0$$

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao 3x^{2}+ax+bx-24. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=14 ab=3\left(-24\right)=-72$$

Pošto je ab negativno, a a b ima suprotan znak. Pošto je a+b pozitivno, pozitivan broj ima veću apsolutnu vrijednost od negativnog. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod -72.

$$-1,72 -2,36 -3,24 -4,18 -6,12 -8,9$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$-1+72=71 -2+36=34 -3+24=21 -4+18=14 -6+12=6 -8+9=1$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu 14.

$$a=-4 b=18$$

Ponovo napišite 3x^{2}+14x-24 kao \left(3x^{2}-4x\right)+\left(18x-24\right).

$$\left(3x^{2}-4x\right)+\left(18x-24\right)$$

Isključite x u prvoj i 6 drugoj grupi.

$$x\left(3x-4\right)+6\left(3x-4\right)$$

Izdvojite obični izraz 3x-4 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(3x-4\right)\left(x+6\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite 3x-4=0 i x+6=0.

$$x=\frac{4}{3} x=-6$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Koristite binomnu teoremu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} da biste proširili \left(2x+1\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1=\left(x-5\right)^{2}$$

Koristite binomnu teoremu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} da biste proširili \left(x-5\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1=x^{2}-10x+25$$

Oduzmite x^{2} s obje strane.

$$4x^{2}+4x+1-x^{2}=-10x+25$$

Kombinirajte 4x^{2} i -x^{2} da biste dobili 3x^{2}.

$$3x^{2}+4x+1=-10x+25$$

Dodajte 10x na obje strane.

$$3x^{2}+4x+1+10x=25$$

Kombinirajte 4x i 10x da biste dobili 14x.

$$3x^{2}+14x+1=25$$

Oduzmite 25 s obje strane.

$$3x^{2}+14x+1-25=0$$

Oduzmite 25 od 1 da biste dobili -24.

$$3x^{2}+14x-24=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 3 i a, 14 i b, kao i -24 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\times 3\left(-24\right)}}{2\times 3}$$

Izračunajte kvadrat od 14.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-4\times 3\left(-24\right)}}{2\times 3}$$

Pomnožite -4 i 3.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-12\left(-24\right)}}{2\times 3}$$

Pomnožite -12 i -24.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196+288}}{2\times 3}$$

Saberite 196 i 288.

$$x=\frac{-14±\sqrt{484}}{2\times 3}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 484.

$$x=\frac{-14±22}{2\times 3}$$

Pomnožite 2 i 3.

$$x=\frac{-14±22}{6}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{-14±22}{6} kada je ± plus. Saberite -14 i 22.

$$x=\frac{8}{6}$$

Svedite razlomak \frac{8}{6} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 2.

$$x=\frac{4}{3}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{-14±22}{6} kada je ± minus. Oduzmite 22 od -14.

$$x=-\frac{36}{6}$$

Podijelite -36 sa 6.

$$x=-6$$

Jednačina je riješena.

$$x=\frac{4}{3} x=-6$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Koristite binomnu teoremu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} da biste proširili \left(2x+1\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1=\left(x-5\right)^{2}$$

Koristite binomnu teoremu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} da biste proširili \left(x-5\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1=x^{2}-10x+25$$

Oduzmite x^{2} s obje strane.

$$4x^{2}+4x+1-x^{2}=-10x+25$$

Kombinirajte 4x^{2} i -x^{2} da biste dobili 3x^{2}.

$$3x^{2}+4x+1=-10x+25$$

Dodajte 10x na obje strane.

$$3x^{2}+4x+1+10x=25$$

Kombinirajte 4x i 10x da biste dobili 14x.

$$3x^{2}+14x+1=25$$

Oduzmite 1 s obje strane.

$$3x^{2}+14x=25-1$$

Oduzmite 1 od 25 da biste dobili 24.

$$3x^{2}+14x=24$$

Podijelite obje strane s 3.

$$\frac{3x^{2}+14x}{3}=\frac{24}{3}$$

Dijelјenje sa 3 poništava množenje sa 3.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x=\frac{24}{3}$$

Podijelite 24 sa 3.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x=8$$

Podijelite \frac{14}{3}, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili \frac{7}{3}. Zatim dodajte kvadrat od \frac{7}{3} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x+\left(\frac{7}{3}\right)^{2}=8+\left(\frac{7}{3}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od \frac{7}{3} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x+\frac{49}{9}=8+\frac{49}{9}$$

Saberite 8 i \frac{49}{9}.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x+\frac{49}{9}=\frac{121}{9}$$

Faktor x^{2}+\frac{14}{3}x+\frac{49}{9}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{3}\right)^{2}=\frac{121}{9}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{9}}$$

Pojednostavite.

$$x+\frac{7}{3}=\frac{11}{3} x+\frac{7}{3}=-\frac{11}{3}$$

Oduzmite \frac{7}{3} s obje strane jednačine.

$$x=\frac{4}{3} x=-6$$