Riješi (2t-3)^2-8(2t-3)+7=0

$$( 2 t - 3 ) ^ { 2 } - 8 ( 2 t - 3 ) + 7 = 0$$

Riješite za t

$$t=2$$

$$t=5$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Koristite binomnu teoremu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} da biste proširili \left(2t-3\right)^{2}.

$$4t^{2}-12t+9-8\left(2t-3\right)+7=0$$

Koristite distributivno svojstvo da biste pomnožili -8 sa 2t-3.

$$4t^{2}-12t+9-16t+24+7=0$$

Kombinirajte -12t i -16t da biste dobili -28t.

$$4t^{2}-28t+9+24+7=0$$

Saberite 9 i 24 da biste dobili 33.

$$4t^{2}-28t+33+7=0$$

Saberite 33 i 7 da biste dobili 40.

$$4t^{2}-28t+40=0$$

Podijelite obje strane s 4.

$$t^{2}-7t+10=0$$

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao t^{2}+at+bt+10. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=-7 ab=1\times 10=10$$

Pošto je ab pozitivno, a a b ima isti znak. Pošto je a+b negativno, a a b su oba negativna. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod 10.

$$-1,-10 -2,-5$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$-1-10=-11 -2-5=-7$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu -7.

$$a=-5 b=-2$$

Ponovo napišite t^{2}-7t+10 kao \left(t^{2}-5t\right)+\left(-2t+10\right).

$$\left(t^{2}-5t\right)+\left(-2t+10\right)$$

Isključite t u prvoj i -2 drugoj grupi.

$$t\left(t-5\right)-2\left(t-5\right)$$

Izdvojite obični izraz t-5 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(t-5\right)\left(t-2\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite t-5=0 i t-2=0.

$$t=5 t=2$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Koristite binomnu teoremu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} da biste proširili \left(2t-3\right)^{2}.

$$4t^{2}-12t+9-8\left(2t-3\right)+7=0$$

Koristite distributivno svojstvo da biste pomnožili -8 sa 2t-3.

$$4t^{2}-12t+9-16t+24+7=0$$

Kombinirajte -12t i -16t da biste dobili -28t.

$$4t^{2}-28t+9+24+7=0$$

Saberite 9 i 24 da biste dobili 33.

$$4t^{2}-28t+33+7=0$$

Saberite 33 i 7 da biste dobili 40.

$$4t^{2}-28t+40=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 4 i a, -28 i b, kao i 40 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{\left(-28\right)^{2}-4\times 4\times 40}}{2\times 4}$$

Izračunajte kvadrat od -28.

$$t=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-4\times 4\times 40}}{2\times 4}$$

Pomnožite -4 i 4.

$$t=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-16\times 40}}{2\times 4}$$

Pomnožite -16 i 40.

$$t=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-640}}{2\times 4}$$

Saberite 784 i -640.

$$t=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{144}}{2\times 4}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 144.

$$t=\frac{-\left(-28\right)±12}{2\times 4}$$

Opozit broja -28 je 28.

$$t=\frac{28±12}{2\times 4}$$

Pomnožite 2 i 4.

$$t=\frac{28±12}{8}$$

Sada riješite jednačinu t=\frac{28±12}{8} kada je ± plus. Saberite 28 i 12.

$$t=\frac{40}{8}$$

Podijelite 40 sa 8.

$$t=5$$

Sada riješite jednačinu t=\frac{28±12}{8} kada je ± minus. Oduzmite 12 od 28.

$$t=\frac{16}{8}$$

Podijelite 16 sa 8.

$$t=2$$

Jednačina je riješena.

$$t=5 t=2$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Koristite binomnu teoremu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} da biste proširili \left(2t-3\right)^{2}.

$$4t^{2}-12t+9-8\left(2t-3\right)+7=0$$

Koristite distributivno svojstvo da biste pomnožili -8 sa 2t-3.

$$4t^{2}-12t+9-16t+24+7=0$$

Kombinirajte -12t i -16t da biste dobili -28t.

$$4t^{2}-28t+9+24+7=0$$

Saberite 9 i 24 da biste dobili 33.

$$4t^{2}-28t+33+7=0$$

Saberite 33 i 7 da biste dobili 40.

$$4t^{2}-28t+40=0$$

Oduzmite 40 s obje strane. Bilo šta oduzeto od nule daje svoju negaciju.

$$4t^{2}-28t=-40$$

Podijelite obje strane s 4.

$$\frac{4t^{2}-28t}{4}=-\frac{40}{4}$$

Dijelјenje sa 4 poništava množenje sa 4.

$$t^{2}+\left(-\frac{28}{4}\right)t=-\frac{40}{4}$$

Podijelite -28 sa 4.

$$t^{2}-7t=-\frac{40}{4}$$

Podijelite -40 sa 4.

$$t^{2}-7t=-10$$

Podijelite -7, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili -\frac{7}{2}. Zatim dodajte kvadrat od -\frac{7}{2} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$t^{2}-7t+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}=-10+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od -\frac{7}{2} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$t^{2}-7t+\frac{49}{4}=-10+\frac{49}{4}$$

Saberite -10 i \frac{49}{4}.

$$t^{2}-7t+\frac{49}{4}=\frac{9}{4}$$

Faktor t^{2}-7t+\frac{49}{4}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(t-\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Pojednostavite.

$$t-\frac{7}{2}=\frac{3}{2} t-\frac{7}{2}=-\frac{3}{2}$$

Dodajte \frac{7}{2} na obje strane jednačine.

$$t=5 t=2$$