Riješi (2k-3)^2-4(3-2k)<0

$$( 2 k - 3 ) ^ { 2 } - 4 ( 3 - 2 k ) < 0$$

Riješite za k

$$k\in \left(-\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Koristite binomnu teoremu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} da biste proširili \left(2k-3\right)^{2}.

$$4k^{2}-12k+9-4\left(3-2k\right)<0$$

Koristite distributivno svojstvo da biste pomnožili -4 sa 3-2k.

$$4k^{2}-12k+9-12+8k<0$$

Oduzmite 12 od 9 da biste dobili -3.

$$4k^{2}-12k-3+8k<0$$

Kombinirajte -12k i 8k da biste dobili -4k.

$$4k^{2}-4k-3<0$$

Da biste riješili nejednačinu, faktorirajte lijevu stranu. Kvadratni polinom se može faktorirati pomoću transformacije ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), pri čemu x_{1} i x_{2} predstavlјaju rješenja kvadratne jednačine ax^{2}+bx+c=0.

$$4k^{2}-4k-3=0$$

Sve nejednakosti izraza ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti korištenjem kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Zamijenite 4 sa a, -4 sa b i -3 sa c u kvadratnoj formuli.

$$k=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

Izvršite računanje.

$$k=\frac{4±8}{8}$$

Riješite jednačinu k=\frac{4±8}{8} kad je ± pozitivno i kad je ± negativno.

$$k=\frac{3}{2} k=-\frac{1}{2}$$

Ponovo napišite nejednačinu koristeći dobivena rješenja.

$$4\left(k-\frac{3}{2}\right)\left(k+\frac{1}{2}\right)<0$$

Da bi proizvod bio negativan, k-\frac{3}{2} i k+\frac{1}{2} moraju imati suprotne predznake. Razmotrite slučaj kad je k-\frac{3}{2} pozitivno, a k+\frac{1}{2} negativno.

$$k-\frac{3}{2}>0 k+\frac{1}{2}<0$$

Ovo je netačno za svaki k.

$$k\in \emptyset$$

Razmotrite slučaj kad je k+\frac{1}{2} pozitivno, a k-\frac{3}{2} negativno.

$$k+\frac{1}{2}>0 k-\frac{3}{2}<0$$

Rješenje koje zadovoljava obje nejednakosti je k\in \left(-\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right).

$$k\in \left(-\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)$$

Konačno rješenje je unija dobivenih rješenja.

$$k\in \left(-\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)$$