Riješi (2k+5)^2-40>0

$$( 2 k + 5 ) ^ { 2 } - 40 > 0$$

Riješite za k

$$k\in \left(-\infty,-\sqrt{10}-\frac{5}{2}\right)\cup \left(\sqrt{10}-\frac{5}{2},\infty\right)$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Koristite binomnu teoremu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} da biste proširili \left(2k+5\right)^{2}.

$$4k^{2}+20k+25-40>0$$

Oduzmite 40 od 25 da biste dobili -15.

$$4k^{2}+20k-15>0$$

Da biste riješili nejednačinu, faktorirajte lijevu stranu. Kvadratni polinom se može faktorirati pomoću transformacije ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), pri čemu x_{1} i x_{2} predstavlјaju rješenja kvadratne jednačine ax^{2}+bx+c=0.

$$4k^{2}+20k-15=0$$

Sve nejednakosti izraza ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti korištenjem kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Zamijenite 4 sa a, 20 sa b i -15 sa c u kvadratnoj formuli.

$$k=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\times 4\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

Izvršite računanje.

$$k=\frac{-20±8\sqrt{10}}{8}$$

Riješite jednačinu k=\frac{-20±8\sqrt{10}}{8} kad je ± pozitivno i kad je ± negativno.

$$k=\sqrt{10}-\frac{5}{2} k=-\sqrt{10}-\frac{5}{2}$$

Ponovo napišite nejednačinu koristeći dobivena rješenja.

$$4\left(k-\left(\sqrt{10}-\frac{5}{2}\right)\right)\left(k-\left(-\sqrt{10}-\frac{5}{2}\right)\right)>0$$

Da bi proizvod bio pozitivan, obje vrijednosti k-\left(\sqrt{10}-\frac{5}{2}\right) i k-\left(-\sqrt{10}-\frac{5}{2}\right) moraju biti negativne ili pozitivne. Razmotrite slučaj kad su k-\left(\sqrt{10}-\frac{5}{2}\right) i k-\left(-\sqrt{10}-\frac{5}{2}\right) negativni.

$$k-\left(\sqrt{10}-\frac{5}{2}\right)<0 k-\left(-\sqrt{10}-\frac{5}{2}\right)<0$$

Rješenje koje zadovoljava obje nejednakosti je k<-\sqrt{10}-\frac{5}{2}.

$$k<-\sqrt{10}-\frac{5}{2}$$

Razmotrite slučaj kad su k-\left(\sqrt{10}-\frac{5}{2}\right) i k-\left(-\sqrt{10}-\frac{5}{2}\right) pozitivni.

$$k-\left(-\sqrt{10}-\frac{5}{2}\right)>0 k-\left(\sqrt{10}-\frac{5}{2}\right)>0$$

Rješenje koje zadovoljava obje nejednakosti je k>\sqrt{10}-\frac{5}{2}.

$$k>\sqrt{10}-\frac{5}{2}$$

Konačno rješenje je unija dobivenih rješenja.

$$k<-\sqrt{10}-\frac{5}{2}\text{; }k>\sqrt{10}-\frac{5}{2}$$