Riješi (1+1+alpha)^3=27

$$( 1 + 1 + \alpha ) ^ { 3 } = 27$$

Riješite za α

$$\alpha =1$$

Koraci za rješenje

Saberite 1 i 1 da biste dobili 2.

$$\left(2+\alpha \right)^{3}=27$$

Koristite binomnu teoremu \left(a+b\right)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3} da biste proširili \left(2+\alpha \right)^{3}.

$$8+12\alpha +6\alpha ^{2}+\alpha ^{3}=27$$

Oduzmite 27 s obje strane.

$$8+12\alpha +6\alpha ^{2}+\alpha ^{3}-27=0$$

Oduzmite 27 od 8 da biste dobili -19.

$$-19+12\alpha +6\alpha ^{2}+\alpha ^{3}=0$$

Prerasporedite jednačinu da biste je stavili u standardni oblik. Poredajte termine redoslijedom od najvišeg do najnižeg stepena.

$$\alpha ^{3}+6\alpha ^{2}+12\alpha -19=0$$

Prema teoremi racionalnih korijena, svi racionalni korijeni polinoma su u obliku \frac{p}{q}, gdje p dijeli termin konstante -19 i q dijeli uvodni koeficijent 1. Navedite sve kandidate \frac{p}{q}.

$$±19,±1$$

Pronađite jedan takav korijen tako što ćete isprobati sve vrijednosti cijelih brojeva, počevši od najmanje po apsolutnoj vrijednosti. Ako se ne pronađe nijedan korijen cijelog broja, isprobajte razlomke.

$$\alpha =1$$

Prema teoremi faktora, \alpha -k je faktor polinoma za svaki korijen k. Podijelite \alpha ^{3}+6\alpha ^{2}+12\alpha -19 sa \alpha -1 da biste dobili \alpha ^{2}+7\alpha +19. Riješite jednačinu gde rezultat iznosi 0.

$$\alpha ^{2}+7\alpha +19=0$$

Sve nejednakosti izraza ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti korištenjem kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Zamijenite 1 sa a, 7 sa b i 19 sa c u kvadratnoj formuli.

$$\alpha =\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 1\times 19}}{2}$$

Izvršite računanje.

$$\alpha =\frac{-7±\sqrt{-27}}{2}$$

Budući da kvadratni korijen negativnog broja nije definiran u realnom polju, nema rješenja.

$$\alpha \in \emptyset$$

Navedi sva pronađena rješenja.

$$\alpha =1$$