Riješi y^2-15y=-54

$${ y }^{ 2 } -15y=-54$$

Riješite za y

$$y=6$$

$$y=9$$

Koraci koji koriste faktoring

Dodajte 54 na obje strane.

$$y^{2}-15y+54=0$$

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite y^{2}-15y+54 koristeći formulu y^{2}+\left(a+b\right)y+ab=\left(y+a\right)\left(y+b\right). Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=-15 ab=54$$

Pošto je ab pozitivno, a a b ima isti znak. Pošto je a+b negativno, a a b su oba negativna. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod 54.

$$-1,-54 -2,-27 -3,-18 -6,-9$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$-1-54=-55 -2-27=-29 -3-18=-21 -6-9=-15$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu -15.

$$a=-9 b=-6$$

Ponovo napišite faktorisani izraz \left(y+a\right)\left(y+b\right) pomoću dobijenih korena.

$$\left(y-9\right)\left(y-6\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite y-9=0 i y-6=0.

$$y=9 y=6$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Dodajte 54 na obje strane.

$$y^{2}-15y+54=0$$

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao y^{2}+ay+by+54. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=-15 ab=1\times 54=54$$

Pošto je ab pozitivno, a a b ima isti znak. Pošto je a+b negativno, a a b su oba negativna. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod 54.

$$-1,-54 -2,-27 -3,-18 -6,-9$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$-1-54=-55 -2-27=-29 -3-18=-21 -6-9=-15$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu -15.

$$a=-9 b=-6$$

Ponovo napišite y^{2}-15y+54 kao \left(y^{2}-9y\right)+\left(-6y+54\right).

$$\left(y^{2}-9y\right)+\left(-6y+54\right)$$

Isključite y u prvoj i -6 drugoj grupi.

$$y\left(y-9\right)-6\left(y-9\right)$$

Izdvojite obični izraz y-9 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(y-9\right)\left(y-6\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite y-9=0 i y-6=0.

$$y=9 y=6$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$y^{2}-15y=-54$$

Dodajte 54 na obje strane jednačine.

$$y^{2}-15y-\left(-54\right)=-54-\left(-54\right)$$

Oduzimanjem -54 od samog sebe ostaje 0.

$$y^{2}-15y-\left(-54\right)=0$$

Oduzmite -54 od 0.

$$y^{2}-15y+54=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 1 i a, -15 i b, kao i 54 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times 54}}{2}$$

Izračunajte kvadrat od -15.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times 54}}{2}$$

Pomnožite -4 i 54.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-216}}{2}$$

Saberite 225 i -216.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{9}}{2}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 9.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±3}{2}$$

Opozit broja -15 je 15.

$$y=\frac{15±3}{2}$$

Sada riješite jednačinu y=\frac{15±3}{2} kada je ± plus. Saberite 15 i 3.

$$y=\frac{18}{2}$$

Podijelite 18 sa 2.

$$y=9$$

Sada riješite jednačinu y=\frac{15±3}{2} kada je ± minus. Oduzmite 3 od 15.

$$y=\frac{12}{2}$$

Podijelite 12 sa 2.

$$y=6$$

Jednačina je riješena.

$$y=9 y=6$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$y^{2}-15y=-54$$

Podijelite -15, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili -\frac{15}{2}. Zatim dodajte kvadrat od -\frac{15}{2} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$y^{2}-15y+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}=-54+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od -\frac{15}{2} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$y^{2}-15y+\frac{225}{4}=-54+\frac{225}{4}$$

Saberite -54 i \frac{225}{4}.

$$y^{2}-15y+\frac{225}{4}=\frac{9}{4}$$

Faktor y^{2}-15y+\frac{225}{4}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(y-\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Pojednostavite.

$$y-\frac{15}{2}=\frac{3}{2} y-\frac{15}{2}=-\frac{3}{2}$$

Dodajte \frac{15}{2} na obje strane jednačine.

$$y=9 y=6$$