Riješi x^6+1=x^4+x^2

$${ x }^{ 6 } +1= { x }^{ 4 } + { x }^{ 2 }$$

Riješite za x

$$x=-1$$

$$x=1$$

Koraci za rješenje

Oduzmite x^{4} s obje strane.

$$x^{6}+1-x^{4}=x^{2}$$

Oduzmite x^{2} s obje strane.

$$x^{6}+1-x^{4}-x^{2}=0$$

Prerasporedite jednačinu da biste je stavili u standardni oblik. Poredajte termine redoslijedom od najvišeg do najnižeg stepena.

$$x^{6}-x^{4}-x^{2}+1=0$$

Prema teoremi racionalnih korijena, svi racionalni korijeni polinoma su u obliku \frac{p}{q}, gdje p dijeli termin konstante 1 i q dijeli uvodni koeficijent 1. Navedite sve kandidate \frac{p}{q}.

$$±1$$

Pronađite jedan takav korijen tako što ćete isprobati sve vrijednosti cijelih brojeva, počevši od najmanje po apsolutnoj vrijednosti. Ako se ne pronađe nijedan korijen cijelog broja, isprobajte razlomke.

$$x=1$$

Prema teoremi faktora, x-k je faktor polinoma za svaki korijen k. Podijelite x^{6}-x^{4}-x^{2}+1 sa x-1 da biste dobili x^{5}+x^{4}-x-1. Riješite jednačinu gde rezultat iznosi 0.

$$x^{5}+x^{4}-x-1=0$$

Prema teoremi racionalnih korijena, svi racionalni korijeni polinoma su u obliku \frac{p}{q}, gdje p dijeli termin konstante -1 i q dijeli uvodni koeficijent 1. Navedite sve kandidate \frac{p}{q}.

$$±1$$

Pronađite jedan takav korijen tako što ćete isprobati sve vrijednosti cijelih brojeva, počevši od najmanje po apsolutnoj vrijednosti. Ako se ne pronađe nijedan korijen cijelog broja, isprobajte razlomke.

$$x=1$$

Prema teoremi faktora, x-k je faktor polinoma za svaki korijen k. Podijelite x^{5}+x^{4}-x-1 sa x-1 da biste dobili x^{4}+2x^{3}+2x^{2}+2x+1. Riješite jednačinu gde rezultat iznosi 0.

$$x^{4}+2x^{3}+2x^{2}+2x+1=0$$

Prema teoremi racionalnih korijena, svi racionalni korijeni polinoma su u obliku \frac{p}{q}, gdje p dijeli termin konstante 1 i q dijeli uvodni koeficijent 1. Navedite sve kandidate \frac{p}{q}.

$$±1$$

Pronađite jedan takav korijen tako što ćete isprobati sve vrijednosti cijelih brojeva, počevši od najmanje po apsolutnoj vrijednosti. Ako se ne pronađe nijedan korijen cijelog broja, isprobajte razlomke.

$$x=-1$$

Prema teoremi faktora, x-k je faktor polinoma za svaki korijen k. Podijelite x^{4}+2x^{3}+2x^{2}+2x+1 sa x+1 da biste dobili x^{3}+x^{2}+x+1. Riješite jednačinu gde rezultat iznosi 0.

$$x^{3}+x^{2}+x+1=0$$

Prema teoremi racionalnih korijena, svi racionalni korijeni polinoma su u obliku \frac{p}{q}, gdje p dijeli termin konstante 1 i q dijeli uvodni koeficijent 1. Navedite sve kandidate \frac{p}{q}.

$$±1$$

Pronađite jedan takav korijen tako što ćete isprobati sve vrijednosti cijelih brojeva, počevši od najmanje po apsolutnoj vrijednosti. Ako se ne pronađe nijedan korijen cijelog broja, isprobajte razlomke.

$$x=-1$$

Prema teoremi faktora, x-k je faktor polinoma za svaki korijen k. Podijelite x^{3}+x^{2}+x+1 sa x+1 da biste dobili x^{2}+1. Riješite jednačinu gde rezultat iznosi 0.

$$x^{2}+1=0$$

Sve nejednakosti izraza ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti korištenjem kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Zamijenite 1 sa a, 0 sa b i 1 sa c u kvadratnoj formuli.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

Izvršite računanje.

$$x=\frac{0±\sqrt{-4}}{2}$$

Budući da kvadratni korijen negativnog broja nije definiran u realnom polju, nema rješenja.

$$x\in \emptyset$$

Navedi sva pronađena rješenja.

$$x=1 x=-1$$

Riješite za x (complex solution)

$$x=i$$

$$x=-i$$

$$x=-1$$

$$x=1$$