Riješi x^5+3x^4=x+3

$${ x }^{ 5 } +3 { x }^{ 4 } =x+3$$

Riješite za x

$$x=-3$$

$$x=1$$

$$x=-1$$

Koraci za rješenje

Oduzmite x s obje strane.

$$x^{5}+3x^{4}-x=3$$

Oduzmite 3 s obje strane.

$$x^{5}+3x^{4}-x-3=0$$

Prema teoremi racionalnih korijena, svi racionalni korijeni polinoma su u obliku \frac{p}{q}, gdje p dijeli termin konstante -3 i q dijeli uvodni koeficijent 1. Navedite sve kandidate \frac{p}{q}.

$$±3,±1$$

Pronađite jedan takav korijen tako što ćete isprobati sve vrijednosti cijelih brojeva, počevši od najmanje po apsolutnoj vrijednosti. Ako se ne pronađe nijedan korijen cijelog broja, isprobajte razlomke.

$$x=1$$

Prema teoremi faktora, x-k je faktor polinoma za svaki korijen k. Podijelite x^{5}+3x^{4}-x-3 sa x-1 da biste dobili x^{4}+4x^{3}+4x^{2}+4x+3. Riješite jednačinu gde rezultat iznosi 0.

$$x^{4}+4x^{3}+4x^{2}+4x+3=0$$

Prema teoremi racionalnih korijena, svi racionalni korijeni polinoma su u obliku \frac{p}{q}, gdje p dijeli termin konstante 3 i q dijeli uvodni koeficijent 1. Navedite sve kandidate \frac{p}{q}.

$$±3,±1$$

Pronađite jedan takav korijen tako što ćete isprobati sve vrijednosti cijelih brojeva, počevši od najmanje po apsolutnoj vrijednosti. Ako se ne pronađe nijedan korijen cijelog broja, isprobajte razlomke.

$$x=-1$$

Prema teoremi faktora, x-k je faktor polinoma za svaki korijen k. Podijelite x^{4}+4x^{3}+4x^{2}+4x+3 sa x+1 da biste dobili x^{3}+3x^{2}+x+3. Riješite jednačinu gde rezultat iznosi 0.

$$x^{3}+3x^{2}+x+3=0$$

Prema teoremi racionalnih korijena, svi racionalni korijeni polinoma su u obliku \frac{p}{q}, gdje p dijeli termin konstante 3 i q dijeli uvodni koeficijent 1. Navedite sve kandidate \frac{p}{q}.

$$±3,±1$$

Pronađite jedan takav korijen tako što ćete isprobati sve vrijednosti cijelih brojeva, počevši od najmanje po apsolutnoj vrijednosti. Ako se ne pronađe nijedan korijen cijelog broja, isprobajte razlomke.

$$x=-3$$

Prema teoremi faktora, x-k je faktor polinoma za svaki korijen k. Podijelite x^{3}+3x^{2}+x+3 sa x+3 da biste dobili x^{2}+1. Riješite jednačinu gde rezultat iznosi 0.

$$x^{2}+1=0$$

Sve nejednakosti izraza ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti korištenjem kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Zamijenite 1 sa a, 0 sa b i 1 sa c u kvadratnoj formuli.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

Izvršite računanje.

$$x=\frac{0±\sqrt{-4}}{2}$$

Budući da kvadratni korijen negativnog broja nije definiran u realnom polju, nema rješenja.

$$x\in \emptyset$$

Navedi sva pronađena rješenja.

$$x=1 x=-1 x=-3$$

Riješite za x (complex solution)

$$x=-1$$

$$x=1$$

$$x=-i$$

$$x=i$$

$$x=-3$$