Riješi x^4-7x^3+13x^2+23x-78=0

$${ x }^{ 4 } -7 { x }^{ 3 } +13 { x }^{ 2 } +23x-78 = 0$$

Riješite za x (complex solution)

$$x=-2$$

$$x=3$$

$$x=3-2i$$

$$x=3+2i$$

Koraci za rješenje

Prema teoremi racionalnih korijena, svi racionalni korijeni polinoma su u obliku \frac{p}{q}, gdje p dijeli termin konstante -78 i q dijeli uvodni koeficijent 1. Navedite sve kandidate \frac{p}{q}.

$$±78,±39,±26,±13,±6,±3,±2,±1$$

Pronađite jedan takav korijen tako što ćete isprobati sve vrijednosti cijelih brojeva, počevši od najmanje po apsolutnoj vrijednosti. Ako se ne pronađe nijedan korijen cijelog broja, isprobajte razlomke.

$$x=-2$$

Prema teoremi faktora, x-k je faktor polinoma za svaki korijen k. Podijelite x^{4}-7x^{3}+13x^{2}+23x-78 sa x+2 da biste dobili x^{3}-9x^{2}+31x-39. Riješite jednačinu gde rezultat iznosi 0.

$$x^{3}-9x^{2}+31x-39=0$$

Prema teoremi racionalnih korijena, svi racionalni korijeni polinoma su u obliku \frac{p}{q}, gdje p dijeli termin konstante -39 i q dijeli uvodni koeficijent 1. Navedite sve kandidate \frac{p}{q}.

$$±39,±13,±3,±1$$

Pronađite jedan takav korijen tako što ćete isprobati sve vrijednosti cijelih brojeva, počevši od najmanje po apsolutnoj vrijednosti. Ako se ne pronađe nijedan korijen cijelog broja, isprobajte razlomke.

$$x=3$$

Prema teoremi faktora, x-k je faktor polinoma za svaki korijen k. Podijelite x^{3}-9x^{2}+31x-39 sa x-3 da biste dobili x^{2}-6x+13. Riješite jednačinu gde rezultat iznosi 0.

$$x^{2}-6x+13=0$$

Sve nejednakosti izraza ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti korištenjem kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Zamijenite 1 sa a, -6 sa b i 13 sa c u kvadratnoj formuli.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 1\times 13}}{2}$$

Izvršite računanje.

$$x=\frac{6±\sqrt{-16}}{2}$$

Riješite jednačinu x^{2}-6x+13=0 kad je ± pozitivno i kad je ± negativno.

$$x=3-2i x=3+2i$$

Navedi sva pronađena rješenja.

$$x=-2 x=3 x=3-2i x=3+2i$$

Riješite za x

$$x=-2$$

$$x=3$$

Koraci za rješenje

Prema teoremi racionalnih korijena, svi racionalni korijeni polinoma su u obliku \frac{p}{q}, gdje p dijeli termin konstante -78 i q dijeli uvodni koeficijent 1. Navedite sve kandidate \frac{p}{q}.

$$±78,±39,±26,±13,±6,±3,±2,±1$$

Pronađite jedan takav korijen tako što ćete isprobati sve vrijednosti cijelih brojeva, počevši od najmanje po apsolutnoj vrijednosti. Ako se ne pronađe nijedan korijen cijelog broja, isprobajte razlomke.

$$x=-2$$

Prema teoremi faktora, x-k je faktor polinoma za svaki korijen k. Podijelite x^{4}-7x^{3}+13x^{2}+23x-78 sa x+2 da biste dobili x^{3}-9x^{2}+31x-39. Riješite jednačinu gde rezultat iznosi 0.

$$x^{3}-9x^{2}+31x-39=0$$

Prema teoremi racionalnih korijena, svi racionalni korijeni polinoma su u obliku \frac{p}{q}, gdje p dijeli termin konstante -39 i q dijeli uvodni koeficijent 1. Navedite sve kandidate \frac{p}{q}.

$$±39,±13,±3,±1$$

Pronađite jedan takav korijen tako što ćete isprobati sve vrijednosti cijelih brojeva, počevši od najmanje po apsolutnoj vrijednosti. Ako se ne pronađe nijedan korijen cijelog broja, isprobajte razlomke.

$$x=3$$

Prema teoremi faktora, x-k je faktor polinoma za svaki korijen k. Podijelite x^{3}-9x^{2}+31x-39 sa x-3 da biste dobili x^{2}-6x+13. Riješite jednačinu gde rezultat iznosi 0.

$$x^{2}-6x+13=0$$

Sve nejednakosti izraza ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti korištenjem kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Zamijenite 1 sa a, -6 sa b i 13 sa c u kvadratnoj formuli.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 1\times 13}}{2}$$

Izvršite računanje.

$$x=\frac{6±\sqrt{-16}}{2}$$

Budući da kvadratni korijen negativnog broja nije definiran u realnom polju, nema rješenja.

$$x\in \emptyset$$

Navedi sva pronađena rješenja.

$$x=-2 x=3$$