Riješi x^225+1

$${ x }^{ 225 } +1$$

Faktor

$$\left(x+1\right)\left(x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1\right)\left(x^{20}-x^{15}+x^{10}-x^{5}+1\right)\left(x^{50}-x^{25}+1\right)\left(x^{150}-x^{75}+1\right)$$

Koraci za rješenje

Ponovo napišite x^{225}+1 kao \left(x^{75}\right)^{3}+1^{3}. Zbir kubova se može faktorirati koristeći pravila: a^{3}+b^{3}=\left(a+b\right)\left(a^{2}-ab+b^{2}\right).

$$\left(x^{75}+1\right)\left(x^{150}-x^{75}+1\right)$$

Razmotrite x^{75}+1. Ponovo napišite x^{75}+1 kao \left(x^{25}\right)^{3}+1^{3}. Zbir kubova se može faktorirati koristeći pravila: a^{3}+b^{3}=\left(a+b\right)\left(a^{2}-ab+b^{2}\right).

$$\left(x^{25}+1\right)\left(x^{50}-x^{25}+1\right)$$

Razmotrite x^{25}+1. Pronađite jedan faktor u obliku x^{k}+m, gdje x^{k} dijeli monom najvećim stepenom x^{25} i m dijeli faktor konstante 1. Jedan takav faktor je x^{5}+1. Faktorirajte polinom tako što ćete ga podijeliti ovim faktorom.

$$\left(x^{5}+1\right)\left(x^{20}-x^{15}+x^{10}-x^{5}+1\right)$$

Razmotrite x^{5}+1. Prema teoremi racionalnih korijena, svi racionalni korijeni polinoma su u obliku \frac{p}{q}, gdje p dijeli termin konstante 1 i q dijeli uvodni koeficijent 1. Jedan takav korijen je -1. Faktorirajte polinom tako što ćete ga podijeliti sa x+1.

$$\left(x+1\right)\left(x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1\right)$$

Ponovo napišite cijeli faktorirani izraz. Sljedeći polinomi nisu faktorirani zato što nemaju nijedan racionalni korijen: x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1,x^{20}-x^{15}+x^{10}-x^{5}+1,x^{50}-x^{25}+1,x^{150}-x^{75}+1.

$$\left(x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1\right)\left(x+1\right)\left(x^{20}-x^{15}+x^{10}-x^{5}+1\right)\left(x^{50}-x^{25}+1\right)\left(x^{150}-x^{75}+1\right)$$

Procijeni

$$x^{225}+1$$